Термически толстая пластина

Термически толстая пластина ‑ это значит, что пренебречь изменением температуры по толщине сечения нельзя.

Термически толстая пластина при симметричной тепловой нагрузке

Математическая постановка:

;

;

;

.

Сделаем замену переменных:

Для нахождения решения воспользуемся методом разделения переменных – методом Фурье. Будем искать решение в виде:

Сделаем замену переменных, и разделим их:

, .

левая часть уравнения зависит от τ, правая – от x. Поэтому удовлетворить равенству можно только в одном случае, когда эти отношения постоянные.

Получим:

Проинтегрируем первое уравнение и получим:

,

знак «+» не соответствует физическому смыслу задачи, т.к. температурная функция является ограниченной и не может определяться только временным фактором.

, соответственно ,

.

Характеристическое уравнение:

; ;

Общее решение:

.

Для определения констант интегрирования воспользуемся условием:

,

откуда , поэтому имеем:

.

Представим: .

Тогда .

Воспользуемся граничным условием x = ± b и получим:

,

– трансцендентное уравнение, аналитически не решаемое.

Решение трансцендентного уравнения

Получили бесконечное множество решений, и для каждого из корней будет справедливо частное решение.

; …

Используем теорему:

Сумма частных решений дифференциального уравнения также является решением исходного уравнения.

Если рассматривается полная совокупность частных решений, результат будем общим решением.

,

все корни определяются из уравнения . Используем начальное условие для определения C₁;

.

Умножим левую и правую часть на величину и проинтегрируем в пределах от – b до + b.

.

Все остальные интегралы, соответствующие слагаемым ряда при , обращаются в 0 (см. теоремы мат. анализа).

Основное свойство полученного решения (ряда):

;

;

;

, .

Перепишем это уравнение через :

.

Основное свойство полученного решения (ряда): быстрая сходимость. Уже при Fо ≥ 0,3 достаточно для вычислений использовать только первое слагаемое ряда. Чем массивнее тело, тем большему физическому времени соответствует Fo = 0,3.

Недостаток решения: система корней определяется решением трансцендентного уравнения .

Дата добавления: 2014-10-17