Гипербола. Тема лекции: Кривые второго порядка на плоскости

M

Тема лекции: Кривые второго порядка на плоскости.

Поверхности второго порядка. (1 час)

Эллипс

Рассмотрим в начале частные виды кривых, определяемых на плоскости уравнениями, в которых неизвестные и присутствуют только в первой или во второй степени.

1. Пусть на плоскости имеются две точки и, называемые фокусами на расстоянии друг от друга (– фокусное расстояние). Для определенности расположим их на оси симметрично относительно начало координат, т.е. и.

Пусть 2a>2c

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна (см. рис. 4.1).

Из условия выведем уравнение эллипса, положив, получим

;

.

Поскольку, то. Обозначив, получим,.

Разделив части уравнения на, получим:

, где.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а числа аи его полуосями (большой и малой).

D₁ Y D₂

O X F₁ F₂

Рис. 4.1

Подставив в каноническое уравнение значение, получим;,, т.е. эллипс пересекает ось в точках с координатами. Аналогично проверяется, что ось эллипс пересекает в точках. Эти точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса.

Несложно проверить, что т. является центром симметрии эллипса, описываемого каноническим уравнением, а оси и его осями симметрии. Ось, проходящая через фокусы эллипса (ось), называется его фокальной осью. Число называется эксцентриситетом. У эллипса.

Прямые, проходящие перпендикулярно фокальной оси на расстоянии от центра эллипса, называются директрисами эллипса (на рис. 2.13 обозначены через и).

Пример 1. Найдем каноническое уравнение, фокусы полуоси, эксцентриситет и директрисы эллипса.

Разделив обе части уравнения на 36, получим:

.

Поскольку, то полуоси равны. Из соотношения получим, что и фокусы эллипса находятся в точках,. Эксцентриситет равен, а директрисы имеют уравнение

.

Замечание 1. Уравнение

, где

определяет эллипс с полуосями и а, фокусы которого находятся на оси в точках,.

Его эксцентриситет равен

,

а директрисы перпендикулярны оси и находятся на расстоянии от начала координат (см. рис. 4.2).

Y

D₂

F₂

X

F₁

D₁

Рис.4.2

Замечание 2. Уравнение

определяет эллипс, полученный из эллипса с каноническим уравнением путем параллельного переноса его центра в точку. При этом параллельно переносится сам эллипс, его фокусы и директрисы. Это следует из того, что при замене переменных и система координат получается из путем параллельного переноса точки в точку.

Пример 2. Нарисуем эллипс с уравнением.

Найдем его центр, полуоси, фокусы и директрисы.

Для этого выделим полные квадраты для неизвестных и, получим

;

;

;

.

Этот эллипс имеет центр в точке, полуоси. Поскольку, то его фокусы находятся в точках и, а поскольку, то директрисы имеют уравнения (см. рис. 4.3).

F₂

F₁

D₁

D₂

X

Y

-3

-2

-1

Рис. 4.3

2. В частном случае, когда фокусное расстояние эллипса, два фокуса эллипса совпадают с его центром. При этом и каноническое управление эллипса принимает вид

или.

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности радиуса а. У окружности эксцентриситет, а директрисы отсутствуют.

Уравнение окружности радиуса а с центром в точке имеет вид:

.

Пример3. Запишем уравнение окружности с центром в точке, проходящей через начало координат. Поскольку радиус окружности, то уравнение этой окружности имеет вид

.

Рис. 4.4

Эллипсы (в частности окружности) широко встречаются в природе и технике. Например, планеты вращаются вокруг солнца по эллипсам, в одном из фокусов которых находится солнце.

Пусть на плоскости имеются два фокуса (например и и пусть.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна и равна.

И каноническим уравнением гиперболы записывается так:

, где.

Число а называется действительной полуосью гиперболы, а число – ее мнимой полуосью.

Подставив в каноническое уравнение, получим, т.е., следовательно, гипербола пересекает ось в точках и. Эти точки называются вершинами гиперболы. Подставив в каноническое уравнение, получим. Это уравнений решения не имеет, поэтому гипербола с каноническим уравнением с осью не пересекается.

Как и у эллипса, т. является центром симметрии гиперболы, а оси и ее осями симметрии.

Определения эксцентриситета и директрис гиперболы повторяют соответствующие определения для эллипса. Эксцентриситет гиперболы.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность.

Это определение не вполне корректно. Точное определение асимптоты опирается на понятие предела, которое будет изучаться позже. В четвертом модуле будет приведено доказательство следующего факта.

Прямые являются асимптотами обеих ветвей гиперболы

.

Гипербола изображена на рис. 4.5.

M

O

F₂

F₁

X

D₂

D₁

Рис 4.5

Пример 1. Найти каноническое уравнение, полуоси, фокусы, эксцентриситет, директрисы и асимптоты гиперболы.

Разделив обе части уравнения на 36, получим:

.

Следовательно, действительная полуось, мнимая. Из соотношения получим, что и фокусы гиперболы находятся в точках.

Эксцентриситет равен, а директрисы имеют уравнения. Уравнения асимптот:.

Замечание 1. Уравнение

определяет гиперболу с действительной полуосью и мнимой полуосью, фокусы которой находятся на оси в точках:

Ее эксцентриситет равен,

а директрисы перпендикулярны оси и находятся на расстоянии от начала координат. Уравнения асимптот имеют тот же вид:. Сопряженная гипербола изображена на рис.4.6.

F₂

F₁

Рис. 4.6

Гиперболы и называются сопряженными друг другу.

Замечание 2. Уравнение

определяют гиперболу, полученную из гиперболы путем параллельного переноса. Центр гиперболы находится в точке.

Пример. Изобразим гиперболу. Найдем ее центр, полуоси, фокусы, директрисы и асимптоты.

Выделив полные квадраты, получим:

Эта гипербола имеет центр в точке, действительную полуось и мнимую полуось.

Поскольку, то ее фокусы находятся в точках и, и поскольку

,

то директрисы имеют уравнения

.

Угловые коэффициенты асимптот, проходящих через точку, равны

.

Поэтому уравнения этих асимптот имеют вид (см. рис. 2.19)

.

Пример. Космическое тело, пролетающее, через солнечную систему движется по траектории в форме гиперболы, в фокусе которой находятся солнце.

D₁

D₂

-1

O’

O

F₂

F₁

Рис. 4.7

Дата добавления: 2014-10-17