Преобразование случайных процессов нелинейными системами

Реальные радиотехнические системы и цели представляют собой в общем случае нелинейные устройства. Задачи, связанные с анализом прохождения случайных процессов через нелинейные системы, весьма разнообразны и достаточно сложны. Здесь мы рассмотрим лишь одну из них - прохождение случайного сигнала через типовое радиотехническое звено.

В качестве такого звена выберем последовательное соеди­нение узкополосной линейной системы, нелинейного без инерцион­ного элемента (квадратора) и линейного фильтра нижних частот (рис. 2.3).

Изучать прохождение случайного процесса через данное звено будем при следующих условиях. Амплитудно-частотная характеристика узкополосной линейной системы аппроксимируется кривой Гаусса:

,

где С –значение амплитудно-частотной характеристики на частоте;

– ширина характеристики на уровне 0,707 (полоса пропускания).

График функции изображен на рисунке 2.4. Кроме того, будем полагать, что выполняется условие. Квадратор описывается выражением:

и его выходной сигнал есть функция выходного сигнала в тот же момент времени и не зависит от предыстории.

В качестве фильтра нижних частот используем идеальный низкочастотный фильтр с характеристикой, изображаемой на рис. 2.5.

Такой фильтр воспроизводит без искажений низкочастот­ную часть спектра сигнала и полностью подавляет его высоко­частотную часть при. Идеальный низкочастотный фильтр физически неосуществим, однако многие реальные фильтры можно считать приближенно идеальными.

Предположим далее, что входной сигнал звена пред­ставляет собой "белый" шум, не обязательно нормальный, имею­щий нулевое математическое ожидание и энергетический спектр

При этих условиях требуется определить плотности вероят­ности, корреляционные функции и энергетические спектры сигнал лов

Решать поставленную задачу будем последовательно для сигналов.

2.4.1. Определение характеристик сигнала

В силу явления нормализации пп. 2.3 сигнал будет гауссовским. Его одномерная плотность вероятности записывает­ся в виде

(2.16)

Энергетический спектр процесса определим по формуле (2.11)

(2.17)

Пользуясь связью энергетического спектра и ковариационной функции случайного процесса, находим

(2.18)

Из (2.18) при получаем дисперсию сигнала

График изображен на рисунке 2.6.

Узкополосный сигнал можно выразить в форме (1.132)

На основе результатов, полученных в пп. 1.12, заключаем, что огибающая имеет релеевский закон распределения

,

а фаза - равномерный в интервале

2.2.2. Определение характеристик сигнала

Из курса высшей математики известно, что квадрат гауссовской случайной величины распределен по закону. Поэтому случайный процесс, связанный с квадратичной зависимостью, имеет одномерную плотность распре­деления вероятностей

(2.19)

Знание одномерной плотности вероятности процесса дает возможность определить его математическое ожидание и дисперсию по формулам:

Однако при данной форме нелинейности можно эти характеристики найти проще:

(2.20)

В (2.20) учтено, что для центрированной случайной величины, подчиняющейся нормальному закону:

Определим далее ковариационную функцию и энергетический спектр сигнала. Ковариационная функция сигнала представляет собой среднее значение следующих произ­ведений:

(2.21)

Для вычисления необходимо привлечь двумерную плотность вероятности входного процесса, по­скольку знания только ковариационной функции как это имеет место в задаче определения ковариационной функ­ции выходного сигнала линейной системы, недостаточно. Дейст­вительно, из (2.4.621) видно, что определяется момен­том более высокого порядка процесса, чем.

Воспользовавшись формулой (1.122) для двумерного нор­мального случайного вектора, получим

(2.22)

Здесь

(2.23)

(2.24)

После вычисления интегралов (2.22) с учетом выражений (2.23) и (2.24) получим:

(2.25)

Здесь.

По ковариационной функции (2.25) определим энергетический спектр процесса

(2.26)

Проанализируем полученный результат. Из (2.26) следует, что в энергетическом спектре сигнала можно выделить три характерные составляющие:

- составляющую, характеризующую мощ­ность постоянной составляющей сигнала;

- составляющую концентрирующуюся око­ло нулевой частоты и характеризующую мощность низкочастотных составляющих сигнала;

- составляющую, определяемую последним слагаемым в (2.4.11), концентрирующуюся вблизи частоты и характеризующую мощность высокочастотных составляющих сигнала.

2.4.3. Определение характеристик сигнала

Изучение характеристик сигнала начнем с нахож­дения его энергетического спектра и корреляционной функции.

Учитывая, что идеальный фильтр нижних частот пропускает без искажений низкочастотную часть сигнала и полностью подавляет его высокочастотную часть из (2.26), отбрасывая последнее слагаемое, находим:

(2.27)

Естественно, при этом мы не учитываем, что фильтром отрезается часть спектра низкочастотных составляющих при, а также влияние "хвостов" высокочастотной части при.

Преобразование спектра сигналов в элементах рассматри­ваемого радиотехнического звена иллюстрируется рис. 2.7.

Ковариационная функция сигнала находится по в следующем виде:

(2.28)

График функций приведен на рис. 2.8. Плотность вероятности сигнала найдем, исходя из следующих соображений.

Поскольку, то, пользуясь (1.132), запишем:

(2.29)

Рисунок 2.4.5

Сигнал является результатом прохождения через идеальный фильтр нижних частот. Будем полагать, что

фильтр пропускает без искажений слагаемое в (2.29), спектр которого сосредоточен в области низких частот, и полностью подавляет второе слагаемое, спектр кото­рого сосредоточен вокруг частоты. Тогда получаем

(2.30)

Таким образом, приближенно можно считать, что квадратич­ный амплитудный детектор выделяет квадрат огибающей сигнала. Напомним, что огибающая сигнала имеет релеевский закон распределения, поскольку - гауссовский сигнал.

Пользуясь известными приемами, используемыми в теории вероятностей, можно найти плотность вероятности сигнала являющегося результатом квадратического преобразования релеевской случайной величины

(2.31)

Из (2.31) вытекает, что сигнал на выходе квадратично­го амплитудного детектора распределен по экспоненциальному закону.

Математическое ожидание и дисперсия сигнала определяется следующими формулами:

В заключение следует отметить, что решение поставленной задачи о прохождении случайного процесса через данное нели­нейное радиотехническое звено получено в приближенном виде. В общем случае точный анализ является весьма трудной задачей.

Дата добавления: 2014-10-17