Упрощение логических функций

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

УПРОЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

Цель работы: Изучение способов упрощения логических функций, в том числе частично определенных (недоопределенных) функций. Приобретение практических навыков по разработке и расчету схем на базе логических элементов, в том числе на основе базовых логических элементов.

Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы пропорциональны числу операций и числу вхождений перемещений или их отрицаний. Логическая функция может быть упрощена с помощью аксиом и теорем алгебры логики. Для упрощения применяются правила, приведенные в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Правила вычисления

Наименование	Для умножения	Для сложения
Коммутативный закон	Х1Х2 = Х2Х1	Х1+Х2 = Х2+Х1
Ассоциативный закон	Х1(Х2Х3) = (Х1Х2)Х3	Х1+(Х2+Х3)=(Х1+Х2)+Х3
Дистрибутивный закон	Х1(Х2+Х3) = Х1Х2+Х1Х3
Правило повторения	ХХ = Х	Х+Х=Х
Правило отрицания
Правило двойного отрицания
Теоремы Де-Моргана:

Рассмотрим булево выражение:

.

Для реализации данного выражения необходимо 2 инвертора, 3 ЛЭ И и 1 ЛЭ ИЛИ.

Упростим данное логическое выражение:

.

Таким образом, все логическое выражение сведено к логической операции ИЛИ.

На практике для упрощения логических выражений, описывающих работу устройства, применяют карты Карно. Карта Карно представляет собой графическое изображение всех возможных наборов значений аргументов, каждый минтерм изображается на карте в виде клетки. Карта образуется путем такого расположения клеток, при котором минтермы, находящиеся в соседних клетках, отличаются значением одной переменной.

Карта Карно для 2-х переменных имеет вид, представленный на рисунке 1.1.а.

а)	б)	в)
Рис. 1.1 – Упрощение логического выражения с помощью карты Карно

Минимизируем исходное логическое выражение посредством применения карты Карно. Поставим 1 в карте Карно в тех клетках, которые соответствуют наборам функции, присутствующим в логическом выражении, рисунок 1.1.б.

Отыскание минимальной формы сводится к максимальному склеиванию по некоторому аргументу: по В – вертикаль и по А – горизонталь. Единицы, находящиеся в соседних клетках, объединим контурами (рисунок 1.1.в). Возможно объединение 2, 4, 8 и т.д. единиц, стоящих в соседних клетках. Кроме этого, карта Карно может быть свернута в горизонтальный или вертикальный цилиндры, или шар, что также позволяет объединить единицы, стоящие в соседних крайних клетках свернутых карт.

Нижний контур, даст аргумент А. Верхний контур – аргумент В

В результате значение функции будет также сведено к логической операции ИЛИ: F = А+В.

Рассмотрим пример построения карты Карно для трех переменных.

.

Карта Карно представлена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Пример карты Карно для 3-х переменных

Рассмотрим пример построения карты Карно для четырех переменных, рисунок 1.3.

Рисунок 1.3 – Карта Карно для 4-х переменных

В рассмотренных примерах осуществлялась минимизация по 1, однако в некоторых случаях целесообразно использовать минимизацию по 0.

Пример такого случая представлен на рисунке 1.4. Минимизация по нулям показана штрихпунктирной линией. Для сравнения сплошной линией показана минимизация по единицам.

Рисунок 1.4 – Минимизация по 0

При минимизации по нулям получается отрицательная функция.

Последовательность преобразования отрицательной функции в положительную показана в таблице 1.2.

Таблица 1.2-Последовательность преобразования отрицательной функции в положительную

Шаг	Логическое выражение	Пояснения
		ЛЭ после минимизации по 0
		С двух сторон ставится отрицание
		Снимается двойное отрицание с левой стороны. Используется правило двойного отрицания. Снимается отрицание с правой стороны и применяется теоремы Де-Моргана.
		Снимается двойное отрицание сигнала С. Используется правило двойного отрицания.

Дата добавления: 2014-10-17