Тема 7. Матричные функции

КОРЕНЬ(число) – вычисляет положительное значение квадратного корня из аргумента. Аргументом функции должно быть целое положительное число. Если аргумент окажется не целым, будет выдано сообщение об ошибке #число!

Например, функция

=КОРЕНЬ(9)

даст результат 3.

Если в ячейке А 1 записано число 25

=КОРЕНЬ(А1)

даст результат 5.

СТЕПЕНЬ (число; степень) – возводит число в заданную степень.

Например, функция

=СТЕПЕНЬ(6; 2)

возвратит число 36. Вместо функции СТЕПЕНЬ для возведения в степень можно использовать операцию «^», например, 6^2.

EXP (степень) – возвращает результат возведения в степень основания натурального логарифма (e = 2,718281828459045).

Например, функция

=EXP(2)

вычислит e² =7,389056099.

LN (число) – вычислит натуральный логарифм числа.

Например, функция

=LN(2,718281828459045)

возвратит 1.

LOG10 (число) – вычислит десятичный логарифм числа.

Например, функция

=LOG10(100)

возвратит 2.

LOG (число; основание) – вычислит алгоритм числа по заданному основанию.

Например, функция

=LOG(100;10)

возвратит 2.

ПИ ()

Например, если ячейка содержит формулу

=ПИ()/2

будет возвращено число 1,570796322679490.

РАДИАНЫ (угол) – преобразует угол, заданный в градусах, в радианы.

Функция

=РАДИАНЫ(75)

возвратит 1,3089969.

ГРАДУСЫ (угол) – преобразует угол, заданный в радианах в градусы.

=ГРАДУСЫ(1,3089969)

возвратит 75.

SIN (угол в радианах) – вычисляет синус угла.

COS (угол в радиана) – вычисляет косинус угла.

Рассмотрим пример.

Пусть требуется вычислить площадь треугольника по формуле Герона.

1. Введем значения сторон в ячейки А 4, А 5, А 6.

2. Вычислим в D 4 величину полупериметра p = (a + b + c) / 2.

3. Вычислим в D 5 площадь треугольника по формуле S =.

4. Введем в ячейки A 1, A 2, А 4, А 5, А 6, С 4, С 5 поясняющий текст как показано на рисунках 249 режим формул, и 250 режим решения.

Рисунок 249

Рисунок 250

В категории математических функций имеются функции, которые реализуют средства линейной алгебры. Их аргументами являются матрицы, которые могут быть заданы адресами, именами, массивами констант. К таким функциям относятся:

ТРАНСП (матрица) – транспонирует исходную прямоугольную матрицу, т.е. меняет элементы ее строк и столбцов местами.

Например, матрицапосле транспонирования будет иметь вид:.

=ТРАНСП(А2:В3) – транспонирует матрицу, помещенную в блок ячеек А 2: В 3, в выделенный блок ячеек (на рис. 51 в блок ячеек Е 5: F 6).

МОПРЕД (матрица) – вычисляет определитель прямоугольной матрицы.

Например,

det A == 4 ∙ 2 – 3 ∙ 1 = 5

=МОПРЕД(А2:В3) – вычислит определитель матрицы, записанной в блок ячеек А 2: В 3, и поместит в ячейку I 5, где записана эта функция (рис. 51).

МОБР (матрица) – вычисляет матрицу, обратную к данной. Исходная и полученная матрицы могут быть только квадратными, т.е. имеющими одинаковое число строк и столбцов. Перемножение обратной и прямой матриц дает единичную матрицу, т.е. матрицу, у которой на главной диагонали находятся единицы. Не все матрицы имеют обратную. В этом случае будет выдано сообщение об ошибке #ЧИСЛО!.

=МОБР(А2:В3) – вычислит матрицу, обратную матрице, записанной в блок ячеек и поместит ее в выделенный диапазон (на рис. 51 – в блок ячеек E 2: F 3).

МУМНОЖ (матрица 1; матрица 2) – перемножает матрицы-аргументы и помещает их в выделенный блок ячеек. Число столбцов матрицы 1 должно совпадать с числом строк матрицы 2. Результирующая матрица будет иметь число строк, как и матрица 1, и число столбцов, как матрица 2.

Например, функция

=МУМНОЖ(A2:B3;E2:F3)

перемножить матрицы, находящиеся в блоках ячеек A 2: B 3 и E 2: F 3 и поместит в блок ячеек I 2: J 3. Так как матрицы, находящиеся в блоках ячеек A 2: B 3 и E 2: F 3 соответственно прямая и обратная, то в результате их перемножения получилась единичная матрица показанная на рисунке 251.

Рисунок 251

Для ввода одной из функций: ТРАНСП(матрица), МОБР(матрица), МУМНОЖ(матрица 1; матрица 2) должны быть выполнены следующие действия:

- выделен блок ячеек, куда должны быть помешены результаты;

- в текущую ячейку введена функция;

- нажата комбинация клавиш Shift+Ctrl+Enter (в строке формул введенная формула автоматически обрамляется в фигурные скобки).

Рассмотрим пример.

Дана матрица А =. Используя матричные функции, вычислить обратную матрицу, транспонировать матрицу А, вычислить определитель матрицы, умножить обратную матриц на прямую.

1. Откройте новый лист рабочей книги Excel и назовите его «Матричные функции».

2. В блок ячеек А 4:С 6 введите матрицу А рисунок 252.

Рисунок 252

Разместите обратную матрицу в блоке Е 4: G 6. Для получения обратной матрицы:

- выделите блок ячеек Е4:G6;

- в текущую ячейку блока введите формулу =МОБР(А4:С6);

- нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter.

Поместите транспонированную матрицу в блок ячеек Е 8: G 10. Для получения транспонированной матрицы:

- выделите блок ячеек Е8:G10;

- в текущую ячейку блока введите формулу =ТРАНСП(А4:С6);

- нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter.

После выполнения указанных действий в режиме показа формул блоки ячеек Е4: G 6 и Е 8: G 10 будут иметь вид показанный на рисунке 253.

Рисунок 253

Для размещения результата произведения прямой и обратной матриц используем блок ячеек I 4: K 6. Для нахождения произведения матриц:

- выделите блок ячеек I4:K6;

- в текущую ячейку введите формулу =МУМНОЖ(А4:С6; E4:G6);

- нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter как показано на рисунке 254 – в режиме показа формул.

Рисунок 254

Для вычисления определителя матрицы в ячейку I 8 введите формулу =МОПРЕД(А4:С6). В результате в режиме решения таблица будет иметь вид показанный на рисунке 255.

Рисунок 255

Пример. Используя матричные функции, составить таблицу для решения системы уравнений

В матричной форме система уравнений может быть записана следующим образом:

А·Х = В,

где А – матрица коэффициентов системы, Х – вектор-столбец неизвестных, В – вектор-столбец свободных членов:

Для решения матричных уравнений удобно использовать обратную матрицу. Если det ≠ 0, можно вычислить обратную матрицу А ^{- 1} и умножить левую и правую части заданного уравнения слева на А ^{- 1}:

А ^{- 1}· (А·Х) = А ^{- 1}·В.

Так как А ^{- 1}· (А·Х) = (А ^{- 1}·А) ·Х, то А ^{- 1}· (А·Х) = E·X = X. Тогда получаем

X = А ^{- 1}·B.

Таким образом, для нахождения решения (вектора-столбца Х) надо найти обратную матрицу А ^{- 1} и умножить ее на вектор-столбец В.

Выполните следующие действия:

- Откройте новый лист рабочей книги и назовите его Решение системы уравнений.

- В блок ячеек А2:В3 введите коэффициенты системы уравнений.

- В блок ячеек D2:D3 введите элементы вектор-столбца свободных членов.

- Выделите блок ячеек F2:G3; в текущую ячейку блока введите =МОБР(А2:В3); нажмите кнопки Shift+Ctrl+Enter.

- Выделите блок ячеек G5:G6; в текущую ячейку блока введите =МУМНОЖ(F2:G3;D2:D3); нажмите кнопки Shift+Ctrl+Enter.

- Введите пояснительный текст, как показано на рисунке 256.

Рисунок 256

Получите решение системы уравнений в ячейках G 5: G 6 рисунок 257.

Рисунок 257

Дата добавления: 2014-10-17