Одиночный импульс со случайной амплитудой и случайным временем прихода

Примеры расчета ковариационных и корреляционных функций случайных процессов

Обобщенная корреляционная функция детерминированного колебания

Рассмотренная в пп. 1.5.1 корреляционная функция является функцией одного аргумента, представляюще­го собой сдвиг во времени колебания и его копий. Напомним, что корреляционная функция характеризует степень связи значений сигнала, разнесенных между собой на время по оси абсцисс. Аналогичная задача может быть поставлена при учете частотного сдвига сигнала относи­тельноисходного. Одновременный учет сдвига сигнала по вре­мени и частоте приводит к понятию обобщенной кор­реляционной функции.

Запишем, исходное модулированное колебание в следующем виде:

(1.66)

где – некоторая центральная частота колебания.

Сдвинутые по времени и смещенные по частоте на колебания записываются так

(1.67)

Выражения (1.66) и (1.67) можно переписать в ином виде, воспользовавшись понятием комплексной огибающей сигнала:

; (1.68)

(1.69)

где, где – комплексные огибающие соответствующих сигналов.

Для дальнейших выкладок удобно перейти к комплексному представлению колебаний:

и.

действительные части которых соответствуют и.

Найдем конечную корреляционную функцию комплексного про­цесса с учетом сдвига по времени и частоте:

(1.70)

Данное выражение определяет так называемую обобщенную корреляционную функцию сигнала. Модуль выражения (1.70)

. (1.71)

Называется двумерной корреляционной функцией. Ее можно пронормировать в соответствии с выражением

(1.72)

Нормированную корреляционную функцию называют также функцией неопределенности, а тело, ограниченное плоскостью и телом неопределенности.

Для того чтобы от перейти к корреляционной функции исходного колебания, необходимо положить в (1.70) и выделить вещественную часть функции.

Аналитический расчет ковариационных и корреляционных функций в общем случае достаточно сложен, и для их опреде­ления в основном пользуются экспериментальным путем. Приведем несколько примеров, когда такой расчет удается провести, опираясь на физику явлений, лежащих в основе данного процесса.

Рассмотрим случайный процесс, представляющий собой оди­ночный импульс известной формы, имеющий случайную амплитуду и случайное время прихода. К такой модели можно свести сигналы в импульсных радиолокационных системах при наличии одной цели, где обычно зондирующие импульсы разнесены далеко во времени, а характеристика отражающей поверхности и дальность до нее неизвестны. Поэтому амплитуду и время прихода отраженного импульса можно рассматривать как случайные величины.

На основе вышеуказанного случайный процесс данного вида можно описать следующим выражением:

, (1.73)

где и случайные величины, характеризующие собой амплитуду и время прихода импульса, функция описывает формулу импульса.

Будем полагать для простоты, что и статисти­чески независимы.

Ковариационная функция согласно (1.25) записывается в следующем виде:

. (1.74)

В этой формуле является плотностьювероятности случайной величины.

Как видно из (1.74), случайный процесс данного вида является в общем случае нестационарным (ковариационная функция зависит от текущего времени t. Подставив в (1.74) конкретные функции и, можно получить формулу для ковариационной функции данного сигнала.

Читателю предлагается самостоятельно произвести расчет конкретного вида ковариационной функции для случая прямоугольной формы отраженного импульса и равномерной плотности вероятности случайной величины на интервале.

Данный пример можно распространить на более общий случай, когда имеет место отражение сигналов от нескольких целей.

Дата добавления: 2014-10-17