КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Рефлексивні, симетричні і транзитивні відношення
Обернені відношення Означення 1.3.2. Відношення , задане на множині , називають оберненим (інверсним) до відношення , заданого на , якщо . Означення 1.3.3. Інверсією називають операцію, яка довільному відношенню ставить у відповідність відношення . З означення видно, що область визначення відношення є множиною значень для відношення , і навпаки. Геометричне зображення інверсії графіка легко утворити за допомогою перетворення симетрії координатної площини відносно бісектриси першого координатного кута. При цьому вісь абсцис і вісь ординат міняються місцями, а точка переходить у точку . Зрозуміло, що у випадку універсального, діагонального та порожнього відношень: . Властивості обернених відношень: 1) ; 2) якщо , то ; 3) ; 4) ; 5) .
Означення 1.3.4. Бінарне відношення R називають рефлексивним у множині , якщо будь-який елемент перебуває у відношенні сам з собою (). Означення 1.3.5. Бінарне відношення R називають рефлексивним, якщо з того, що слідує, що і . Наприклад, відношення рефлексивне у множині , проте не рефлексивне у множині . Рефлексивними є відношення рівності, подільності, паралельності, конгруентності, подібності фігур, універсальне та діагональне відношення. Означення 1.3.6. Бінарне відношення R називають антирефлексивним (іррефлексивним) у множині , якщо жоден елемент не перебуває у відношенні сам з собою (). Наприклад, відношення антирефлексивне у множині . Анти рефлексивними є відношення “не дорівнює”, “менше”, “більше”, перпендикулярності тощо. Порожнє відношення прийнято вважати як рефлексивним, так і антирефлексивним. Якщо відношення є ні рефлексивним, ні анти рефлексивним, то його називають не рефлексивним.
Наприклад, відношення не рефлексивне, оскільки елемент 2, на відміну від всіх інших, не перебуває у відношенні сам з собою . При зображенні рефлексивного відношення з допомогою графіка видно, що всі точки діагоналі належать графіку відношення. Означення 1.3.7. Бінарне відношення R називають симетричним, якщо з того, що слідує, що . Наприклад, відношення симетричне. Симетричними є відношення паралельності, перпендикулярності, подібності, конгруентності, універсальне відношення тощо. Для симетричного відношення його графік симетричний відносно діагоналі – бісектриси координатного кута. Означення 1.3.8. Бінарне відношення R називають антисиметричним, якщо з того, що слідує, що . Наприклад, відношення антисиметричне. Антисиметричними є відношення включення, “менше”, “більше”, “менше дорівнює” тощо. Відношення рівності, діагональне та порожнє вважають як симетричними, так і антисиметричними. Означення 1.3.9. Бінарне відношення R називають транзитивним, якщо з того, що і слідує, що . Наприклад, відношення транзитивне. Транзитивними також є відношення “менше”, “більше дорівнює”, подільності, паралельності, подібності, включення, діагональне, порожнє та універсальне відношення тощо. Не транзитивними є відношення “не дорівнює”, перпендикулярності, належності тощо. Графік транзитивного відношення має властивість і навпаки. Операція обернення зберігає 5 властивостей відношень: рефлективність, антирефлексивність, симетричність, антисиметричність і транзитивність. Означення 1.3.10. Відношення R* називають транзитивним замиканням відношення R на множині А, якщо тоді і тільки тоді, коли у множині А існує послідовність елементів така, що і , ,..., . Наприклад, нехай – множина точок на площині і , , якщо точки і з’єднані відрізком. Тоді , якщо існує ламана лінія, яка з’єднує точки і .
Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 610; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |