Означення і приклади груп

Означення 3.1.2. Непорожню множину G елементів довільної природи, в якій введено якусь бінарну алгебраїчну операцію *, називають групою, якщо виконуються такі умови:

1) операція * – асоціативна: ;

2) існує єдиний нейтральний елемент такий, що для довільного : і ;

3) існує єдиний симетричний елемент такий, що для довільного : і .

Властивості 1)-3) називають аксіомами групи.

Очевидно, визначена в групі G бінарна операція * не обов’язково комутативна. Якщо ж вона комутативна, то G називають комутативною або абелевою групою (Абель – норвезький математик, який вивчав рівняння, теорія яких тісно пов’язана з теорією комутативних груп).

Групу G називають скінченною, якщо множина її елементів – скінченна, і нескінченною у протилежному випадку. Кількість елементів скінченої групи називають її порядком.

Якщо в групі G бінарну операцію * називають додаванням і використовують відповідну символіку (+), то G називають адитивною групою. А якщо в групі G бінарну операцію * називають множенням і використовують відповідну символіку (×), то G називають мультиплікативною групою. Якщо в групі G бінарну операцію * називають додаванням і використовують відповідну символіку (+), то G називають адитивною групою.

Приклади груп.

1. Множина всіх цілих чисел Z є абелевою адитивною групою (у Z визначена операція додавання, яка асоціативна і комутативна. У множина Z існує єдиний нейтральний елемент 0. Кожне ціле число а має симетричне (- а)Î Z. Отже, всі аксіоми групи виконуються).

2. Множина всіх раціональних чисел Q і множина всіх дійсних чисел R є абелевими адитивними групами.

3. Множина всіх парних чисел є абелевою адитивною групою.

4. Множина всіх додатних раціональних чисел Q ₊ – абелева адитивна група.

5. Множина всіх відмінних від 0 дійсних чисел R \{0}є абелевою мультиплікативною групою.

6. Множина всіх додатних дійсних чисел R ₊ і множина всіх відмінних від 0 дійсних чисел R \{0} – абелеві мультиплікативні групи.

7. Послідовність чисел 1 і –1 є абелевою мультиплікативною групою.

8. Множина, що складається з одного числа 0, є абелева адитивна група.

Очевидно, що множина непарних чисел не є групою відносно додавання, бо в ній не визначена операція +: додавання непарних чисел виходить за межі цієї множини (може бути парним числом).

Може статися, що частина Н елементів групи G є у свою чергу групою. Тоді Н називають підгрупою групи G.

Означення 3.1.3. Підмножину Н групи G називають підгрупою групи G, якщо Н є групою відносно бінарної операції *, визначеної в групі G.

ЛІТЕРАТУРА

1. М.Атья, И.Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. – Москва: Мир, 1972.

2. З.И.Боревич, И.Р. Шафаревич. Теория чисел. – Москва: Наука, 1985.

3. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. – Москва: Наука, 1976.

4. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. – Москва: Наука, 1981.

5. Ю.А.Дрозд, В.В.Кириченко. Конечномерные алгебры. – Киев: Вища

школа, 1980.

6. А.А.Карацуба. Основы аналитической теории чисел. – Москва: Наука,

1983.

7. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. – Москва: Наука, 1977.

8. С.Ленг. Алгебра. – Москва: Мир, 1968.

9. Ж.-П.Серр. Группы и алгебры Ли. – Москва: Мир, 1969.

10. М.Холл. Теория групп. – Москва: ИЛ, 1962.

11. И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. Т.1 – Москва: Наука, 1988.

Тема 3.3. ПОЛЯ

Дата добавления: 2014-10-17