Тема 6. Средние величины

1. Сущность и значение средней величины. Виды средних величин.

2. Среднее значение признака, методы его расчета.

3. Структурные средние величины.

1. Сущность и значение средней величины. Виды средних величин.

Средняя величина – это один из самых распространенных приемов обобщений, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность развития изучаемого явления. Средняя величина позволяет через единичное и случайное выявить общее в развитии общественного явления.

Средняя величина - это наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно-варьирующему признаку в расчете на единицу однородной совокупности.

Правило: средние величины должны исчисляться на основе массового обобщения фактов и применяться к качественно однородным совокупностям.

Средняя величина отражает то общее, типичное, что складывается в отдельном изучаемом явлении, поэтому она должна дополняться другими аналитическими показателями, так как за общими благополучными средними могут скрываться серьезные недостатки.

Каждая средняя величина характеризует совокупность только по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное представление об изучаемом явлении (совокупности по ряду признаков), надо рассчитать систему средних величин.

Средние величины измеряются в тех же единицах, что и признак.

В статистике выделяют следующие виды средних величин:

ü среднее значение признака,

ü структурные средние величины: мода,

медиана.

2. Среднее значение признака, методы его расчета.

Для расчета среднего значения признака в статистике применяются следующие методы расчета средних величин:

ü средняя арифметическая,

ü средняя гармоническая,

ü средняя квадратическая (применяется при исчислении показателей вариации)

ü средняя хронологическая (применяется для расчета среднего уровня ряда в моментных статистических рядах динамики с равными периодами времени между наблюдениями),

ü средняя геометрическая (применяется при исчислении средних темпов роста в статистических рядах динамики).

Средняя арифметическая – отношение объема варьирующего признака к числу единиц совокупности:

[1]

Используется две ее формы:

ü простая – когда объем варьирующего признака рассчитывается как сумма значений признака каждой единицы совокупности:

[2]

где - среднее значение признака,

å - знак суммы “сигма”,

x - значение признака (варианта)

åx – объем варьирующего признака,

n - число единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда имеются значения признака по каждой единице совокупности, т.е. на индивидуальных данных.

ü взвешенная – когда объем варьирующего признака рассчитывается как сумма произведений значений признака на частоту (вес) (f) и тогда число единиц совокупности рассчитывается как сумма частот:

[3]

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда имеются значения признака (x) - качественная особенность единицы совокупности и частота (вес) (f) - число единиц совокупности, обладающих данным значением признака. Указанные характеристики выступают элементами статистического ряда распределения, а так как средняя величина - это наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно -варьирующему признаку, то - вариационного статистического ряда распределения.

Таким образом, сфера применения средней арифметической взвешенной – вариационные статистические ряды распределения. Которые делятся на два вида:

· дискретные - если значения признака представлены отдельными (дискретными) числами. Тогда среднее значение признака рассчитывается непосредственно по формуле средней арифметической взвешенной,

· интервальные - если значения признака представлены диапазонами, интервалами. Тогда для применения формулы средней арифметической взвешенной необходимо значения признака представить в виде дискретных чисел, т.е. перейти от интервального вариационного статистического ряда распределения к дискретному. Для этого по каждому интервалу значений признака рассчитывается среднее значение признака (как наиболее обобщенная характеристика совокупности по количественно -варьирующему признаку) по формуле средней арифметической простой:

[4]

где - среднее значение признака в i -том интервале,

x_{i max} – верхняя граница i - го интервала,

x_{i min} – нижняя граница i - го интервала.

При этом открытые интервалы (т.е. описанные только одной границей – верхней или нижней) закрывают по правилу:

- первый закрывают по длине второго,

- последний – по длине предпоследнего.

Свойства средней арифметической:

ü произведение среднего значения признака на число единиц совокупности равно объему варьирующего признака:

[5]

или

[6]

ü сумма отклонений значений признака от среднего значения признака равна нулю:

[7]

или

[8]

ü если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится:

[9]

Средняя гармоническая (как частный случай средней арифметической) – используется в случаях, если известны значения варьирующего признака, и объем варьирующего признака (произведение признака на частоту – х*f), но нет информации о числе единиц совокупности. В практике чаще всего применяется в форме взвешенной:

[10]

Средняя квадратическая – корень квадратный из среднего квадрата значений признака (применяется как показатель вариации признака):

[11]

- в форме простой, если средний квадрат значений признака рассчитывался по формуле средней арифметической простой, т.е. на индивидуальных данных:

[12]

и тогда

[13]

- в форме взвешенной, если средний квадрат значений признака рассчитывался по формуле средней арифметической взвешенной:

[14]

Cредняя хронологическая – как отношение суммы половины первого и последнего значений признака и полных промежуточных значений признака к числу единиц совокупности, уменьшенному на единицу:

[15]

Средняя геометрическая – корень n -ой степени из произведения (П) значений признака (х₁,х₂,…,x_n):

[16]

3. Структурные средние величины.

Структурные средние – мода и медиана – применяются для характеристики структуры изучаемой совокупности.

Мода (Мо) в статистике – это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в данной совокупности, то есть варианта, имеющая наибольшую частоту:

[17]

Таким образом, для определения моды необходимо наличие частот, т.е. мода рассчитывается только на вариационных статистических рядах распределения. При этом:

- в дискретных вариационных статистических рядах распределения мода определяется визуально,

- в интервальных вариационных статистических рядах распределения мода рассчитывается по специальной формуле. При применении формулы необходимо соблюдать следующее условие: длины всех интервалов должны быть равными.

В самой же формуле используются следующие допущения:

ü мода расположена в наиболее часто встречающемся интервале (т.е. интервале с наибольшей частотой) – модальном интервале,

ü значения признака в модальном интервале расположены равномерно,

ü мода в модальном интервале тяготеет к той его границе, где частота рядом лежащего интервала (предшествующего или последующего) больше:

[18]

где х_Мо – нижняя граница модального интервала,

i_Мо – длина модального интервала,

f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Мо - частота модального интервала,

f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (Ме) – это значение признака (варианты), расположенного на середине ранжированного статистического ряда (ряда, в котором значения признака расположены в порядке возрастания или убывания), т. е. делит численность упорядоченного статистического ряда пополам,

ü для индивидуальных данных

[19]

При этом для данных с нечетным количеством единиц совокупности (обязательно расположенных в порядке возрастания или убывания значений признака) медианой будет значение признака (варианта), расположенная в центре ряда; с четным количеством - рассчитывается по формуле средней арифметической простой из двух центральных смежных вариант.

ü для вариационных статистических рядов распределения:

[20]

Медиана в дискретном вариационном статистическом ряду распределения и медианый интервал в интервальном находятся по данным о накопленных (суммированных) частотах. Так как медиана делит количество единиц совокупности пополам, значит, находится там, где накопленная (кумулятивная) частота составляет половину или больше половины суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины численности совокупности.

Затем, на интервальном вариационном статистическом ряду распределения она рассчитывается по формуле:

[21]

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала,

i_Ме - длина медианного интервала,

åf – сумма частот,

S_Ме-1 - сумма частот, накопленных до медианного интервала,

f_Ме – частота медианного интервала.

Значение моды и медианы можно определить также графически: моду – при помощи построения гистограммы, медиану – при помощи построения кумуляты (графика накопленных частот).

Тема 7. Статистическое изучение вариации

1. Понятие вариации. Причины и необходимость изучения вариации.
2. Показатели вариации.

1. Понятие вариации. Причины и необходимость изучения вариации.

Вариация (лат. variatio изменение) – это несовпадение значений показателя у разных объектов. Вариация признака – различие индивидуальных значений признака у единиц совокупности. Возникает в результате того, что каждый изучаемый объект находится в конкретных условиях места и времени и развивается согласно своим особенностям под влиянием различных факторов и их сочетаний.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, так как помогает познать сущность изучаемого явления и, следовательно, дает важную информация для принятия научно обоснованных управленческих решений

Средние величины дают обобщающую точечную характеристику изучаемого признака совокупности, но не раскрывают строения совокупности, не показывают, как располагаются около них индивидуальные значения признака (сосредоточены ли они вблизи средней величины или значительно отклоняются от нее). Средние величины в двух совокупностях могут быть одинаковыми, но в одном случае индивидуальные значения отличаются от них мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация мала, в другом – велика. И это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средних величин.

Чем больше значения отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своих средних величин, и наоборот, - чем меньше значения признака отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средних, которые в таком случае могут реально представлять всю совокупность. Таким образом, при анализе исследуемой совокупности, полученные средние величины необходимо дополнить показателями, измеряющими отклонения от средних и показывающих степень надёжности последних, т.е. показателями вариации.

Статистика изучает не все различия значений конкретного признака, а только количественные изменения величины признака в пределах однородной совокупности, которые вызваны пересекающимся влиянием различных факторов.

Различают случайную и систематическую вариацию признака. Статистика изучает систематическую вариацию. Её анализ позволяет оценить степень зависимости изменений изучаемого признака от различных факторов, вызывающих эти изменения.

Определив характер вариации в исследуемой совокупности, можно сказать, насколько она однородна, и, следовательно, насколько характерными являются рассчитанные средние величины.

Степень близости значений отдельных единиц к среднему значению признака измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей вариации.

2. Показатели вариации.

I. Абсолютные и средние показатели.

Размах вариации – разница между наибольшим и наименьшим значениями признака:

[1]

Самый простой показатель по расчёту, но улавливает только крайние отклонения, не отражает отклонений значений признака внутри ряда. Измеряется в тех же единицах, что и признак.

Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений признака от среднего значения признака, без учёта знака этих отклонений. По свойству средней арифметической сумма фактических отклонений от средней равна нулю, так как сумма отрицательных отклонений равна сумме положительных отклонений и для решения этой проблемы используется модуль:

ü в форме простой для индивидуальных данных:

[2]

ü в форме взвешенной для сгруппированных данных

[3]

Показатель даёт обобщающую характеристику распределению отклонений, учитывает различия всех единиц совокупности. Чем оно меньше в данной совокупности, тем однороднее её показатели, по сравнению с показателями другой сравниваемой совокупности. Измеряется в тех же единицах, что и признак.

Однако в практике статистической деятельности не применяется, т.к. превращение отрицательного числа в положительное через модуль не является математическим решением.

Дисперсия (средний квадрат отклонений) (σ² – сигма в квадрате) - это средняя арифметическая из возведенных в квадрат отклонений значений признака от среднего значения признака:

ü в форме простой для индивидуальных данных:

[4]

ü в форме взвешенной для сгруппированных данных

[5]

Дисперсия показывает среднее значение отклонений в квадрате значений признака от его среднего значения, следовательно, не имеет экономической единицы измерения.

Среднее квадратическое отклонение (σ – сигма) - это квадратный корень из дисперсии:

[6]

Среднее квадратическое отклонение характеризует вариацию признака в абсолютном выражении, измеряется в тех же единицах, что и признак (варианта) и показывает, на сколько единиц измерения признака в среднем конкретные значения признака отклоняются от их среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение является критерием надёжности средней величины: чем оно меньше, тем лучше среднее значение признака отражает изучаемую совокупность.

Кроме того, если средние величины отражают тенденцию развития, т.е. влияние главных факторов на изменение значений признака, то среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми показателями для измерения вариации признака.

Однако, во-первых, являясь абсолютными величинами и, во-вторых, зависящими от среднего значения признака, не могут выступать показателями для сравнения вариации различных признаков. Для осуществления таких сравнений, а также сравнения колеблемости одного и того же признака в различных совокупностях используют относительный показатель вариации.

II. Показатель относительного рассеивания.

Коэффициент вариации – отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению признака:

[7]

Коэффициент вариации выступает как мера вариации значений признака вокруг среднего значения признака, анализируется в процентах и показывает, на сколько процентов в среднем конкретные значения признака отклоняются от их среднего значения.

Используется для оценки типичности средних величин. Является критерием надёжности среднего значения признака: если он больше 33-35%, то значения признака сильно колеблются, следовательно, средняя менее надёжна, а совокупность неоднородна.

Тема 8. Выборочное наблюдение

1. Понятие выборочного наблюдения. Необходимость применения выборочного метода. Способы образования выборочной совокупности.
2. Генеральная и выборочная совокупность, их обобщающие характеристики. Репрезентативность выборки.
3. Средняя и предельная ошибки выборочной средней и выборочной доли.
4. Определение необходимой численности выборки.

1. Понятие выборочного наблюдения. Необходимость применения выборочного метода. Способы образования выборочной совокупности.

Одним из распространенных методов несплошного наблюдения (наблюдения, при котором обследуются не все единицы совокупности – носители интересующего признака, а лишь их часть), является выборочный метод.

Выборочное наблюдение – это наблюдение, при котором характеристика всей совокупности обследуемых единиц даётся по некоторой их части, отобранной в случайном порядке. От других видов несполошного наблюдения (метод основного массива, монографическое, анкетное) отличается тем, что его результаты поддаются математической обработке, т.к. в своей теоретической основе опирается на положения теории вероятностей.

Эффективность выборочного метода заключается:

ü в минимизации затрат труда и финансовых средств,

ü в оперативности – короткие сроки проведения наблюдения и получения результатов,

ü лучший контроль первичного материала позволяет получать более точные результаты, чем при сплошном наблюдении,

ü иногда являются единственно возможным способом получения информации (например, контроль многих видов продукции связан с их порчей, потерей товарного вида, нарушением герметизации и т.д.).

При этом необходимо отметить и негативные моменты при проведении выборочных наблюдений:

ü требуется более тщательная подготовка при проведении обследования (теоретическая и технологическая основы, кадровая подготовка и т.д.),

ü наличие ошибки репрезентативности,

ü результаты расчетов представляются не в виде конкретных данных, а в виде разброса этих данных (доверительного интервала).

Основные понятия:

генеральная совокупность – это с одной стороны исходная совокупность, из которой производится отбор единиц для наблюдения, а с другой - совокупность, свойства которой стремятся определить по результатам выборочного наблюдения.

выборочная совокупность - та часть единиц совокупности, которая отбирается для статистического наблюдения.

Способы образования выборочной совокупности.

Собственно случайный отбор – отбор в совершенно случайном порядке (жеребьевка). Может быть осуществлен в двух видах:

ü повторный отбор - отобранная для наблюдения единица регистрируется и возвращается в исходную совокупность, таким образом, возникает возможность отобрать для наблюдения данную единицу еще раз. Вероятность отбора у всех единиц одинакова.

ü бесповторный отбор – отобранная для наблюдения единица регистрируется и не возвращается в исходную совокупность. Таким образом, единица для наблюдения может быть отобрана только один раз, а вероятность отбора последующих единиц увеличивается.

Механический отбор – отбор единиц в выборочную совокупность производится из генеральной совокупности через равные интервалы (так сказать механическим путем). При этом все единицы генеральной совокупности должны быть упорядочены по какому-либо признаку: существенному, второстепенному или нейтральному. Далее, генеральная совокупность делится на столько групп, сколько единиц необходимо отобрать в выборочную совокупность. В первой группе случайным образом отбирается первая единица для наблюдения. А затем во всех последующих группах отбираются единицы с этим же порядковым номером. Таким образом, механическая выборка по принципу своей организации бывает только бесповторной.

Типический отбор – генеральная совокупность предварительно разбивается на однородные по какому-либо признаку (типу) группы. Далее, из каждой группы отбираются единицы в выборочную совокупность либо в собственно случайном порядке (повторном или бесповторном) либо механически. Отбор единиц в группах осуществляется независимо, т.е. каждая группа рассматривается как отдельная совокупность. Общим соблюдается лишь способ отбора.

.Данный способ применяется при изучении сложных явлений, например, при исследовании производительности труда работников, разбитых на группы по квалификации.

Серийный (гнездовой) отбор – генеральная совокупность разбивается на серии (гнезда) и для наблюдения отбираются не отдельные единицы, а целые серии (гнёзда), внутри которых единицы обследуются сплошным способом (например, товар упакован в коробки, т.е. серия - коробка). Отбор серий производится либо в случайном (чаще всего бесповторном) либо в механическом порядке.

На практике эти способы применяются, обычно, не в “чистом” виде, а комбинируются в различных сочетаниях, например, серийный отбор со случайной выборкой, т.к. отбор единиц из генеральной совокупности в действительности – сложный процесс.

2. Генеральная и выборочная совокупность, их обобщающие характеристики. Репрезентативность выборки.

Итак, генеральная совокупность – это с одной стороны исходная совокупность, из которой производится отбор единиц для наблюдения, а с другой - совокупность, свойства которой стремятся определить по результатам выборочного наблюдения.

выборочная совокупность - та часть единиц совокупности, которая отбирается для статистического наблюдения.

Основная задача выборочного наблюдения – получить представление о показателях генеральной совокупности на основе изучения выборочной совокупности.

В выборочном наблюдении применяются 2 обобщающих показателя:

ü среднее значение признака,

ü доля альтернативного признака.

Среднее значение признака - это обобщающая характеристика изучаемой совокупности по количественно варьирующему признаку (например, средняя заработная плата одного работника).

Доля альтернативного признака дает характеристику совокупности по альтернативно варьирующему признаку и исчисляется как отношение количества единиц совокупности, обладающих интересующим значением признака, к общему количеству единиц совокупности. Например, при обследовании студентов определяется доля студентов, получающих стипендию.

Альтернативно варьирующий признак – это признак, имеющий всего два значения: да, нет. Например, пол: мужской, женский. Любую множественную вариацию можно свести к альтернативной: интересует значение признака или нет.

В генеральной совокупности среднее значение признака будем называть генеральной средней (), а долю единиц, обладающих интересующим значением признака - генеральной долей (p).

В выборочной совокупности среднее значение признака будем называть выборочной средней (), а долю единиц, обладающих интересующим значением признака - выборочной долей ().

Задачей выборочного наблюдения является получить достоверное представление о генеральных показателях доли и средней на основе аналогичных характеристик выборочной совокупности. А так как единицы в выборочную совокупность отбираются в случайном порядке, то между выборочными и генеральными показателями всегда существуют расхождения – ошибки выборки или ошибки репрезентативности. Математически это можно выразить следующим образом:

ü для средней:

[1]

ü для доли:

[2]

3. Средняя и предельная ошибки выборочной средней и выборочной доли.

Ошибка выборки (ошибка репрезентативности) зависит от численности выборки и от степени варьирования изучаемого признака. Все возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности аккумулируются в формуле средней ошибки выборки. Она рассчитывается по-разному в зависимости от способа отбора: повторный или бесповторный.

Средняя ошибка выборки при повторном отборе:

ü для средней:

[3]

где n - количество единиц выборочной совокупности,

- дисперсия варьирующего признака в выборочной совокупности:

в форме простой для индивидуальных данных:

[4]

в форме взвешенной для сгруппированных данных

[5]

ü для доли:

[6]

где – доля интересующего значения признака в выборочной совокупности:

[7]

и n_да – количество единиц в выборочной совокупности, обладающих интересующим признаком,

n – общее количество единиц в выборочной совокупности,

- дисперсия альтернативного признака.

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе. При этом способе отбора количество единиц генеральной совокупности сокращается в процессе выборки и вероятность отбора каждой последующей единицы увеличивается, что математически отображается в выражении:

() [8]

где N – количество единиц в генеральной совокупности.

Поэтому средняя ошибка выборки при бесповторном отборе:

ü для средней:

[9]

ü для доли:

[10]

Приведённые формулы [3], [6], [9], [10] позволяют определить среднюю величину отклонений характеристик генеральной совокупности от выборочных характеристик, равную ,. Например, по выборочным данным средний срок горения лампочек составляет 3000 часов, а = 50 часов. Следовательно, во всей партии лампочки будут гореть (3000 ± 50) часов, т.е. от 2950 часов до 3050 часов.

Доказано, что генеральные характеристики отклоняются от выборочных на величину ±μ с вероятностью, равной 0,638. Это означает, что в 683 случаях из 1000 генеральная характеристика будет находиться в пределах ±μ от выборочной характеристики, а в 317 случаях выйдет за эти пределы.

Вероятность суждений можно изменить, и, следовательно, изменить границы характеристик генеральной совокупности, если скорректировать среднюю ошибку выборки на коэффициент доверия (t), который зависит от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t -кратную среднюю ошибку. Данный показатель находится по готовым таблицам функции F(t), определённой русским математиком А.М. Ляпуновым применительно к нормальному распределению.

Величина, полученная как произведение коэффициента доверия и средней ошибки выборки, называется предельной ошибкой выборки

ü для средней:

[11]

ü для доли:

[12]

4. Определение необходимой численности выборки.

Размер ошибки выборки, прежде всего, зависит от количества единиц в выборочной совокупности (численности выборки). Средняя ошибка выборки обратно пропорциональна , т.е. при увеличении численности выборки в 4 раза, её ошибки уменьшаются вдвое.

Увеличивая количество единиц в выборочной совокупности, можно довести её ошибку до очень малых размеров, однако надо помнить, что задачей выборочного наблюдения является получение необходимой информации с минимальными затратами. Следовательно, надо находить в каждом случае оптимальную численность выборки. Определение необходимой численности выборки основывается на формуле предельной ошибки выборки.

При повторном отборе:

ü для средней предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:

[13]

тогда необходимая численность выборки:

[14]

ü для доли предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:

[15]

тогда необходимая численность выборки:

[16]

При бесповторном отборе:

ü для средней предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:

[17]

тогда необходимая численность выборки:

[18]

ü для доли предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:

[19]

тогда необходимая численность выборки:

[20]

Примечание: для определения необходимой численности выборки при исследовании конкретного явления в указанных формулах применяют генеральную дисперсию и генеральную долю.

Тема 9. Статистические ряды динамики

1. Понятие статистических рядов динамики. Элементы статистического ряда динамики.
2. Расчет среднего уровня статистического ряда динамики.
3. Показатели анализа статистических рядов динамики.
4. Выявление основной тенденции развития явления.

1. Понятие статистических рядов динамики. Элементы статистического ряда динамики.

Результатом группировки и сводки статистических материалов выступают ряды цифр или статистические ряды данных. Они могут характеризовать распределение единиц совокупности по значениям признака в статике – статистические ряды распределения, либо изменение размеров массового общественного явления во времени – статистические ряды динамики.

Таким образом, статистический ряд распределения – это ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих развитие явления во времени.

Элементами статистического ряда динамики выступают:

ü уровень ряда (y_i) – показатель, характеризующий размер явления,

ü время (t_i).

Классификация статистических рядов динамики осуществляется по:

ü значениям уровня ряда – ряды абсолютных, относительных и средних величин,

ü времени – интервальные статистические ряды динамики – ряды, отражающие процесс формирования явления за определенный период (интервал) времени,

- моментные статистические ряды динамики – ряды, демонстрирующие размер явления на конкретный момент времени.

Отражение явления по времени зависит от экономической сущности явления. Например, имеет экономический смысл наблюдать численность населения на конкретные даты (таблица 1), однако выпуск продукции можно охарактеризовать только как процесс, результат которого формируется за период времени (таблица 2).

Таблица 1

Численность населения России,

на конец года; млн. человек

Всего	143,5	142,8	142,2	142,0	141,9

Таблица 2

Валовой внутренний продукт России,

млрд. рублей

Всего

При этом и интервальные и моментные статистические ряды динамики могут быть с равноотстоящими по времени уровнями и неравно отстоящими.

Таким образом, виды статистических рядов динамики по времени:

ü интервальные

- с равными периодами наблюдения,

- с неравными периодами наблюдения,

ü моментные

- с равными промежутками времени между наблюдениями,

- с неравными промежутками времени между наблюдениями.

2. Расчет среднего уровня статистического ряда динамики.

Средний уровень ряда рассчитывается по-разному, в зависимости от вида ряда динамики по времени:

ü в интервальном статистическом ряду динамики с равными периодами наблюдения – по формуле средней арифметической простой величины:

[1]

где n – число периодов наблюдения;

ü в интервальном статистическом ряду динамики с неравными периодами наблюдения – по формуле средней арифметической взвешенной величины:

[2]

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется;

ü в моментном статистическом ряду динамики с равными промежутками времени между наблюдениями – по формуле средней хронологической величины:

[3]

где y₁ – первый уровень ряда,

y₂ - второй уровень ряда,

y_n-1 - предпоследний уровень ряда,

y_n - последний уровень ряда;

ü в моментном статистическом ряду динамики с неравными промежутками времени между наблюдениями – по формуле средней арифметической взвешенной величины:

[4]

где - средний уровень между двумя ближайшими моментами наблюдения, рассчитанный по формуле средней арифметической простой величины,

- число периодов времени, в течение которых не изменяется.

3. Показатели анализа статистических рядов динамики.

Для количественной оценки динамики изучаемых явлений применяются абсолютные и относительные показатели анализа статистических рядов динамики:

ü абсолютный прирост,

ü коэффициент (темп) роста,

ü коэффициент (темп) прироста,

ü абсолютное значение одного процента прироста.

В зависимости от выбора базы сравнения указанные показатели делятся на цепные и базисные:

ü цепные (ц) - при сравнении каждого уровня ряда (y_i) с предыдущим (y_i-1),

ü базисные (б) - при сравнении каждого уровня ряда (y_i) с одним и тем же уровнем, принятым за базу (как правило, с начальным (y₁)).

Абсолютный прирост (Δy) - выражает абсолютную скорость роста (снижения) уровней ряда динамики. Рассчитывается как разность двух уровней:

ü цепной:

[5]

ü базисный:

[6]

Выражается в единицах измерения уровней ряда и показывает на сколько единиц измерения ряда сравниваемый уровень ряда больше (меньше) уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Коэффициент роста (Кр) – выражает интенсивность изменения уровней ряда динамики. Рассчитывается как отношение уровней ряда:

ü цепной:

[7]

ü базисный:

[8]

Выражается в коэффициентах и показывает, во сколько раз сравниваемый уровень ряда больше уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Темп роста (Тр) – это коэффициент роста, выраженный в процентах:

Тр = Кр * 100% [9]

Показывает, сколько процентов сравниваемый уровень ряда составляет от уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Коэффициент прироста (Кпр) – дает оценку абсолютного прироста в относительных величинах. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:

ü цепной:

[10]

ü базисный:

[11]

При анализе экономический смысл имеет только в процентах, т.е. темпах прироста (Тпр):

Тпр = Кпр * 100% = (Кр – 1) *100% = Кр *100% - 100% = Тр – 100% [12]

Показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень ряда больше (меньше) уровня ряда, принятого за базу сравнения.

Абсолютное значение 1% прироста (A1%) – результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

ü цепной:

[13]

ü базисный:

[14]

Выражается в единицах измерения уровней ряда. Показывает, сколько единиц измерения ряда составляет изменение явления на 1%. Обычно рассчитывается как цепные показатели, т.к. значения базисных показателей для всех времен явления будут одинаковы.

4. Выявление основной тенденции развития явления.

При анализе статистического ряда динамики возникает задача выявить основную тенденцию развития явления для прогнозирования данного явления на будущее. Этого можно достичь следующими способами:

I. Рассчитав средние показатели анализа статистического ряда динамики:

ü средний абсолютный прирост,

ü средний коэффициент (темп) роста,

ü средний темп прироста.

II. Произведя аналитическое выравнивание статистического ряда динамики.

I. Расчет средних показателей анализа статистического ряда динамики.

Средний абсолютный прирост – как средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

[15]

где m – число цепных абсолютных приростов.

При этом, так как сумма абсолютных приростов цепных равна абсолютному приросту базисному для последнего периода наблюдения, т. е.:

ΣΔy_ц = Δy_ц2 + Δy_ц3 + … + Δy_цn = (y₂ – y₁) + (y₃ – y₂) + … + (y_n-1 – y_n) = y_n – y₁ = Δy_бn [16]

а число цепных абсолютных приростов на 1 меньше, чем периодов наблюдения, т. е.

m = n – 1 [17]

то

[18]

Средний коэффициент роста - по формуле средней геометрической цепных коэффициентов роста:

[19]

где m – число цепных коэффициентов роста,

Π – знак произведения.

При этом, так как произведение коэффициентов роста цепных равно коэффициенту роста базисному для последнего периода наблюдения, т. е.:

[20]

а число цепных коэффициентов роста на 1 меньше, чем периодов наблюдения, т. е.

m = n – 1 [21]

то

[22]

Средний темп роста – как средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

[23]

Средний темп прироста определяется исходя из взаимосвязи между темпами роста и темпами прироста [12]:

[24]

II. Аналитическое выравнивание статистического ряда динамики по математической кривой (прямой, параболе, гиперболе и т.д.) позволяет найти плавную линию развития (тренд) данного явления.

Сущность метода аналитического выравнивания заключается в том, чтобы представить тренд как временную функцию:

[25]

где - уровни тренда,

t – время.

Аналитическое выравнивание по прямой линии производят, если явление во времени развивается равномерно, когда развитие равноускоренное (равнозамедленное), т.е. стабильны абсолютные приросты, коэффициенты (темпы) роста, темпы прироста. При переменном развитии явления (ускорение, потом замедление или наоборот) выравнивание производится по формулам кривых линий. В целом выбор временной функции определяется темпами развития явления во времени.

Простейшим способом аналитического выравнивания выступает выравнивание по функции прямой линии:

[26]

где - параметры уравнения:

a₀, – свободный член уравнения, характеризующий обобщающее влияние на результат всех факторов, кроме рассматриваемого (времени),

a₁ – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отклонение результативного признака (уровня ряда, y) от его средней величины при отклонении факторного признака (времени, t) на одну единицу его измерения – вариация y, приходящаяся на единицу вариации t. Кроме того, указывает направление развития явления:

при - рост уровней ряда в среднем на эту величину (равномерный),

при - снижение уровней ряда в среднем на эту величину (равномерное).

Нахождение параметров уравнения осуществляется методом наименьших квадратов через систему нормальных уравнений:

[27]

Для упрощения техники расчета в рядах динамики показателям времени (t) придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. Σt = 0. В рядах динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначается как ноль (условное начало отсчёта времени, «0»), показатели времени всех предыдущих уровней обозначаются с интервалом (-1), а всех последующих – с интервалом (+1) (например, при n =5 t будут: -2,-1,0,+1,+2). При чётном числе уровней (например, n =6) условный шаг будет равен двум, т.е. порядковые номера левой половины ряда (от середины ранние периоды) обозначатся числами (от меньшего к большему): -5, -3, -1, а правой половины (от середины поздние периоды): +1,+3,+5.

Тогда уравнения примут следующий вид:

[28]

откуда

[29]

Определив параметры а₀ и а₁, можно вычислить теоретические уровни, т.е. ординаты точек искомой прямой.

Тема 10. Индексы

1. Понятие и классификация индексов.
2. Агрегатные индексы. Система индексов.
3. Средние индексы.
4. Индексы средних величин.
5. Анализ изменения сложного явления за счет составляющих элементов.

1. Понятие и классификация индексов.

Наиболее широко в экономической практике и статистическом анализе при исследовании сложных социально-экономических явлений применяется индексный метод.

Индекс (index - показатель) – это относительная величина, позволяющая сравнивать совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами, т.е. математически не поддаются суммированию (например, производство продукции разных видов в натурально-вещественной форме).

Основой индексного метода является переход от натурально-вещественной формы выражения явлений к стоимостным измерителям.

Индексный метод позволяет решить три основные задачи статистических исследований:

ü сравнить характеристики совокупностей, состоящих из несоизмеримых (не суммируемых) элементов,

ü проанализировать влияние структурных сдвигов, то есть изменений в структуре изучаемого явления, на обобщающий показатель.

ü провести факторный анализ, то есть измерить влияние различных факторов на сложное явление (сложное явление – явление, полученное произведением элементов (компонентов)).

Классификация индексов.

I. В зависимости от вида относительной величины:

- индексы динамики – построенные как относительная величина динамики,

- территориальные индексы – построенные как относительная величина сравнения.

II. В зависимости от вида элемента совокупности:

- индекс качественного элемента (признака) – характеристика единицы совокупности (цена единицы продукции (p), себестоимость единицы продукции (z) и т.д.),

- индекс количественного элемента (частоты) – характеристика числа единиц совокупности (количество продукции или физический объем (q)),

- индекс сложного явления (объема варьирующего признака) – характеристика явления, полученного произведением качественного и количественного элементов (товарооборот (p*q), затраты на производство продукции (z*q))

III. В зависимости от степени охвата количества видов элемента совокупности:

- индивидуальные индексы (i) – по одному виду элемента совокупности (качественного, количественного или сложного явления) (например, только по молоку),

- сводные индексы(I) - по нескольким видам элемента совокупности (качественного, количественного или сложного явления) (например, по молочной продукции в целом).

Методика построения индекса (на примере оценки динамики количества проданного молока):

1. так как только по молоку, то строится индивидуальный индекс (i),

2. так как количество проданного молока, то индивидуальный индекс количественного элемента (i_q) или индивидуальный индекс физического объема,

3. любой индекс – это относительная величина, т.е. получается делением …

[1]

4. …интересующего явления (количество проданного молока или физический объем)

[2]

5. так как оценка динамики, то в отчетном (текущем) периоде (1) по сравнению с предшествующим (базисным) (0)

[3]

Оценка динамики цены молока осуществляется при помощи индивидуального индекса качественного элемента или индивидуального индекса цены по формуле:

[4]

Оценка динамики стоимости проданного молока осуществляется при помощи индивидуального индекса сложного явления или индивидуального индекса товарооборота по формуле:

[5]

Таким образом, индивидуальные индексы, характеризующие изменение явления во времени, являясь, по сути, относительными величинами динамики анализируются как коэффициенты роста, темпы роста или темпы прироста изучаемого явления.

2. Агрегатные индексы. Система индексов.

Сводные индексы (I) выражают обобщающие результаты изменения во времени (или в пространстве) нескольких видов элемента совокупности (качественного, количественного или сложного явления) (индексы сводят). К ним относятся: сводный индекс физического объема, сводный индекс цен, сводный индекс товарооборота, сводный индекс затрат и т. п. И тогда, для сведения нескольких видов элемента, при построении индекса необходимо использовать знак «суммы» (Σ).

Так, сводный индекс физического объема (например, по молочной продукции в целом) будет выглядеть следующим образом:

[6]

Однако, так как количества молочной продукции имеют натуральное выражение (молоко – в литрах, сыр - в килограммах), то их нельзя суммировать, т.е. мы сталкиваемся с так называемым несуммируемым явлением (Σq). Данная проблема решается введением в индекс величины, позволяющей преодолеть несуммируемость изучаемого явления. И это будет цена единицы продукции, имеющая денежное выражение:

[7]

При этом, цену необходимо зафиксировать на неизменном уровне (отчетном (текущем) или предшествующем (базисном) (p_*)), так как нас интересует изменение только количества:

[8]

Величина, введенная в индекс для преодоления несуммируемости изучаемого элемента и зафиксированная на неизменном уровне, называется весом, а сводный индекс, построенный с использованием веса, приобретает форму агрегатного индекса [8].

Выбор уровня (отчетного (текущего) или предшествующего (базисного)) для веса определяется экономическим содержанием полученных сложных явлений (Σq₁p_* и Σq₀p_*)

Правило: при построении сводных индексов количественных элементов, качественные элементы, выступающие весом, фиксируются на предшествующем (базисном) периоде.

Следовательно, сводный индекс физического объема в агрегатной форме имеет следующий вид:

[9]

Аналогичная методика используется при построении сводного индекса качественных элементов (I_p):

[10]

Однако, так как сумма цен единицы каждого вида молочной продукции не имеет экономического содержания, то мы сталкиваемся с несуммируемым явлением (Σp), что преодолевается введением в индекс веса. В данном случае это будет количество проданных товаров (q_*)

[11]

Правило: при построении сводных индексов качественных элементов, количественные элементы, выступающие весом, фиксируются на отчетном (текущем) периоде.

Следовательно, сводный индекс цен в агрегатной форме имеет следующий вид:

[12]

Таким образом, сводные индексы количественных и качественных элементов в агрегатной форме имеют две составные части - индексируемую величину и вес.

Индексируемая величина – это элемент статистической совокупности, изменение которого является объектом изучения.

Вес - величина, введенная в индекс для преодоления несуммируемости изучаемого элемента и зафиксированная на неизменном уровне.

Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной будет цена единицы товара "p", а весом – количество товара в натуральных единицах измерения – "q". При изучении изменения физического объема индексируемой величиной является количество товара в натуральных измерителях – "q", а весом – цена единицы товара – "p".

Динамику сложного явления можно определить при помощи формулы сводного индекса товарооборота (I_pq):

[13]

При его построении не используются веса, так как нет несуммируемых явлений.

Рассмотренные индексы (сводный индекс динамики товарооборота, сводный индекс цен и сводный индекс физического объема) образуют систему индексов:

[14]

или

[15]

В данной системе изменение товарооборота в фактически действовавших ценах в отчетном (текущем) периоде по сравнению с предшествующим (базисным) зависит от того, как изменились цены на проданные товары (индекс цен) и как изменилось количество проданных товаров в натуральных измерителях (индекс физического объема).

Взаимосвязанные сводные индексы применяются во многих других случаях:

- для анализа производственной деятельности организаций применяются: индекс оптовых цен, индекс физического объема продукции и индекс стоимости продукции;

- для анализа затрат на производство – индекс себестоимости единицы продукции, индекс физического объема продукции и индекс затрат на производство.

Так, сводный индекс себестоимости единицы продукции имеет вид:

[16]

где z₁, z₀ - себестоимость единицы продукции в отчетном (текущем) и предшествующем (базисном) периоде, соответственно.

Сводный индекс физического объема продукции рассчитывается как:

[17]

И сводный индекс затрат на производство:

[18]

где z*q – затраты на производство.

Так же эти три индекса взаимосвязаны:

[19]

или

[20]

В данной системе изменение затрат на производство в фактически действовавших ценах в отчетном (текущем) периоде по сравнению с предшествующим (базисным) зависит от того, как изменилась себестоимость единицы продукции (индекс себестоимости) и как изменилось количество произведенной продукции в натуральном измерении (индекс физического объема).

3. Средние индексы.

Cводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов (вторая форма выражения сводных индексов). При этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу. Для расчета сводных индексов применяются две формы: средняя арифметическая форма и средняя геометрическая форма.

I. Для построения сводного индекса количественного элемента в агрегатной форме необходима информация о количестве товаров в отчетном (текущем) периоде (q₁) и предшествующем (базисном) (q₀), а так же ценах в предшествующем (базисном) периоде (p₀):

[21]

Однако в практике статистической деятельности чаще располагают информацией о сложном явлении и изменении количества по каждому виду продукции в натуральном измерении (т.е. можно построить индивидуальные индексы количественных элементов (i_q)):

[22]

Выразив из формулы [22] (q₁)

q₁ = i_q * q₀ [23]

и подставив в формулу [21], получим:

[24]

Таким образом, сводный индекс количественного элемента можно определить по форме среднего арифметического индекса:

II. Для построения сводного индекса качественного элемента в агрегатной форме необходима информация о ценах товаров в отчетном (текущем) периоде (p ₁) и предшествующем (базисном) (p₀), а так же количестве в отчетном (текущем) периоде (q ₁):

[25]

Однако в практике статистической деятельности чаще располагают информацией о сложном явлении и изменении цен по каждому виду продукции (т.е. можно построить индивидуальные индексы качественных элементов (i_p)):

[26]

Выразив из формулы [26] (p ₀)

[27]

и подставив в формулу [25], получим:

[28]

Таким образом, сводный индекс качественного элемента можно определить по форме среднего гармонического индекса:

4. Индексы средних величин.

На значение средней величины влияют как значения усредняемого признака (x), так и количество отдельных вариант (частоты) (f)

[29]

при этом отношение части единиц совокупности к общему количеству единиц дает относительную величину структуры (d)

, [30]

т.е. на значение средней величины влияют значения усредняемого признака и структура совокупности

[31]

Например, на среднюю цену товара влияет различие цен на этот товар на разных рынках, в магазинах и т. п., а также структура физического объема реализации товара:

[32]

где

[33]

И тогда для анализа изменения средней цены применяется индекс цен переменного состава как отношение средних цен одноименной продукции по

Дата добавления: 2014-10-17