Ожидаемая полезность. Детерминированный эквивалент и премия за риск

Риск возникает, когда результат некоторого решения невозможно заранее предугадать. В экономике результат решения часто оценивается в стоимостном измерении, и с этой точки зрения риск можно рассматривать как имеющую случайную природу возможность потери или выигрыша стоимости в результате тех или иных экономических решений.

Предельно важен фактор риска на рынках капитала. По сути, в отсутствие риска, рынок капиталов, да и в целом финансовые рынки во всем своем многообразии, сводились бы к рынку какого-то однотипного долгового обязательства с единой процентной ставкой.

Если допустимая область выбора между риском и доходом ограничена (заштрихованная область на рисунке), наилучшим будет выбор, обеспечивающий наиболее высокий уровень благосостояния (полезности) из возможных. На рисунке наилучший выбор отображен точкой А, в которой наиболее высокая кривая без-различия касается допустимой области.

Теория принятия решений различает три возможные ситуации выбора решения:

1) выбор при определенности - когда результат решения детерминирован и может быть определен заранее;

2) выбор в условиях риска - когда результат заранее в точности не может быть известен, но существует информация о вероятностных распределениях возможных последствий;

3) выбор в условиях неопределенности - когда результат случаен и полностью отсутствует информация о вероятностях последствий решения.

В экономической теории предполагается, что человек способный рационально принимать решения исходя из принципа наибольшей выгоды, всегда имеет, основанные на тех или иных соображениях, представления о степени рискованности той или иной альтернативы. Эти представления основываются на степени уверенности индивида (субъективных вероятностях) в наступлении различных последствий решений.

Пусть в качестве результата решения рассматривается некоторый единственный показатель (например, размер дохода, прибыли, богатства и т.п.), фактическая величина которого зависит от принимаемого решения и некоторых случайных факторов. То есть каждому варианту решения соответствует свое вероятностное распределение результата. Тогда выбор в условиях риска - это выбор среди вероятностных распределений, соответствующих каждому из вариантов решения.

Например, пусть решение состоит в том, покупать или не покупать лотерейный билет. Билет стоит 10 рублей, вероятность выигрыша одного миллиона руб. составляет 0.001%. Альтернативы могут быть представлены следующим образом:

или

Предположим вначале, что риск может быть некоторым образом измерен, то есть каждому варианту решения соответствует, во-первых, значение ожидаемого(«среднего») дохода, во-вторых, некоторый показатель, характеризующий степень риска данного решения (к примеру, степень возможного отклонения фактического размера дохода от ожидаемого). В этом случае предпочтения человека могут быть представлены с помощью стандартного микроэкономического аппарата кривых безразличия.

Рисунок 1. Кривые безразличия между риском и ожидаемым доходом

Каждая точка на координатной плоскости рисунка определяет некоторый уровень ожидаемого дохода и соответствующую степень риска его получения. Точки, лежащие на одной и той же кривой безразличия, показывают сочетания степени риска и ожидаемого дохода, которые для этого человека эквивалентны.

На рисунке, если увеличение дохода с r¹ до r² сопровождается увеличением степени риска с σ¹ до σ², то для человека обе альтернативы эквивалентны. Форма кривых безразличия на рисунке соответствует предположению о том, что ожидаемый доход, если следовать терминологии теории потребительского выбора, является «положительным» благом (чем больше доход, тем лучше), а риск - «анти-благом» (увеличение степени риска ухудшает положение индивида).

Прирост ожидаемого дохода, например, на величину (r² - r¹), который компенсирует человеку потери благосостояния, вызванные возрастанием риска (в данном случае с σ¹ до σ²) называют премией за риск.

Наклон кривой безразличия - это предельная норма замены между риском и доходом (обозначим ее MRSrr), показывающая каким должно быть увеличение дохода (премия за риск), чтобы компенсировать увеличение степени риска на одну единицу:

Другими словами, предельная норма замены характеризует относительную ценность для индивида риска и дохода при данном уровне одного и другого (то есть - индивидуальную премию за риск).

Для завершения модели, предположим, что выбор для субъекта ограничен окружающими условиями (скажем, рынком). Пусть, например, существует некоторое допустимое множество комбинаций риска и дохода, обозначенное заштрихованной областью на рисунке 2.

Рисунок 2. Оптимальный выбор в условиях риска

Исходя из принципа рациональности выбора, человек предпочтет ту альтернативу из возможных, которая обеспечит ему наивысший уровень благосостояния. На рисунке 3-2 это будет точка А - точка, соответствующая наивысшей из возможных кривых безразличия.

Можно сказать, что наклон границы допустимой области представляет собой рыночную премию за риск - прирост дохода, который может быть получен при увеличении степени риска на единицу. Тем самым, наилучший выбор - это точка, где наивысшая кривая безразличия между риском и доходом касается границы допустимой области, то есть точка, где наклоны обоих кривых равны между собой.

Условием наилучшего выбора будет равенство:

индивидуальная премия за риск = рыночная премия за риск.

Отметим важные особенности поведения людей с различным отношением к риску. Для несклонного к риску человека, снижение степени риска, даже при неизменном ожидаемом доходе, увеличивает привлекательность решения, тогда как при нейтральности существенным является только ожидаемый доход. Для склонного к риску человека более рискованные решения всегда более предпочтительны.

Рисунок 3. Кривые безразличия человека, склонного к риску (а) и нейтрального по отношению к риску (б).

В экономической теории предполагается, что люди в абсолютном большинстве не склонны к риску. Однако степень несклонности может различаться. Кривые безразличия на рисунке 4а характеризуют человека относительно более не склонного к риску по сравнению с субъектом, кривые безразличия которого приведены на рисунке 4б. Чем большее приращение дохода необходимо, чтобы компенсировать человеку возрастание риска, тем более он не склонен к риску. По отношению к инвестициям, большую несклонность к риску на финансовом жаргоне называют «консервативным» или осторожным подходом. Соответственно, чем меньше несклонность к риску, тем более «агрессивно» (рискованно) поведение инвестора. Формально, в рамках рассматриваемой модели, степень несклонности к риску характеризуется величиной предельной нормы замены между риском и доходом MRSrr: чем большей является эта величина, тем более несклонен к риску человек.

Степень несклонности по отношению к риску можно охарактеризовать и по иному. Значение дохода при отсутствии риска, которое эквивалентно (лежит на той же кривой безразличия) некоторой рискованной альтернативе А, называется детерминированным эквивалентом решения А. Чем больше несклонность к риску, тем меньше детерминированный эквивалент одного и того же решения. На рисунке 4 детерминированный эквивалент решения А представлен точкой Е.

Рисунок 4. Различия в степени несклонности к риску: a) «агрессивный» инвестор; б) «консервативный» инвестор

Наиболее распространенным в экономической теории является предположение о том, что человек, выбирая решения, руководствуется принципом максимизации ожидаемой полезности результата.

Пусть, как и ранее, критерием оценки эффективности решения является некоторый единственный показатель, для определенности пусть это будет размер богатства (обозначим его w).

Каждому значению w соответствует определенный уровень благосостояния (полезности) u(w), обеспечиваемый человеку данной величиной богатства. В соответствии с гипотезой ожидаемой полезности, человек, имея определенные представления о вероятностных распределениях величины w (обозначим эти распре деления как Р), выберет то решение, при котором величина ожидаемой полезности результата:

EP[u(w)]

будет максимальной. EP. в приведенной формуле обозначает ожидаемую величину.

Величина богатства СA, соответствующая ожидаемой полезности от проекта А, называется детерминированным эквивалентом рискованного решения А. Более строго, СA будет детерминированным эквивалентом случайной величины выигрыша wA, если

Критерий выбора решения теперь может быть сформулирован следующим об-разом: наилучшим является решение с наибольшим детерминированным эквивалентом. Премия за риск в этом случае - разница между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом решения:

,

где π - премия за риск.

Используя экономическую терминологию, детерминированный эквивалент СA - это альтернативная стоимость проекта А для субъекта, принимающего решения.

Сформулируем еще одно определение несклонности к риску: субъект является несклонным к риску, если детерминированный эквивалент любого рискованного решения для него всегда меньше ожидаемого (среднего) выигрыша, получаемого в результате этого решения.

Заметим очень важную взаимосвязь свойства несклонности к риску и стандартных положений экономической теории о функции полезности: свойство убывающей предельной полезности (выигрыша, богатства и т.п.) предполагает несклонность к риску, т.е. чем меньше человек ценит каждую дополнительную единицу богатства - тем менее он склонен рисковать. А степень несклонности к риску тем выше, чем более вогнутой является функция полезности богатства (рисунок 5).

.

Рисунок 5. Степень несклонности к риску и полезность богатства.

В отличие от случая определенности, в условиях риска выбор того или иного решения означает выбор вероятностного распределения некоторой случайной величины (например, дохода).

Предположим, что на множестве вероятностных распределений существуют отношения предпочтения, - то есть человек может сравнивать выгодность различных распределений. Причем эти предпочтения рациональны - обладают следующими свойствами (удовлетворяют следующим аксиомам):

1) Полнота;

2) Транзитивность;

3) Непрерывность;

4) Для любых двух распределений, первое будет более предпочтительным, чем второе тогда и только тогда, когда любая линейная комбинация, включающая первое распределение, будет более предпочтительна, чем аналогичная линейная комбинация, где вместо первого распределения присутствует второе.

Из последней аксиомы следует свойство линейности по вероятности функции предпочтений, то есть функция предпочтений, в соответствии с теорией ожидаемой полезности - это линейная комбинация вероятностей различных исходов, причем коэффициентами этого линейного разложения будут значения полезности каждого из исходов. Например, пусть имеется n возможных ситуаций, в каждой из которых полезность человека принимающего решения будет равна соответственно u1, u2,..., un. Если p1, p2,..., pn - вероятности каждой из возможных ситуаций, линейная по вероятности функция предпочтений будет иметь вид:

Пусть показатель, характеризующий результат решения - только один, например, - размер богатства в каждой из ситуаций: w1, w2,..., wn, а u(.) - функция полезности богатства. Тогда функция предпочтений будет иметь вид:

. (1)

В общем случае, когда возможные результаты описываются не дискретным, а непрерывным распределением Р, линейная по вероятности функция предпочтений запишется

, (2)

где Ω - вероятностное пространство, ∫P(dw) - интеграл Лебега. Если существует плотность распределения p(w), выражение (2) можно записать

(3)

Все три выражения для функции предпочтений (1), (2) и (3) представляют функцию V как математическое ожидание функции полезности. Таким образом, в соответствии с теорией Неймана-Моргенштерна индивид в условиях риска осуществляет выбор исходя из максимизации ожидаемой полезности результата: человек выбирает такое распределение P* из множества альтернатив, что

Дата добавления: 2014-10-17