Портфель с минимальным риском

Пусть целью инвестора является выбор портфеля с минимальным возможным риском, то есть необходимо так выбрать х ₁ и х ₂, чтобы величина риска портфеля была бы наименьшей. Эту задачу можно просто решить аналитически. Прежде всего, заметим, что для портфеля из 2-х активов всегда должно выполняться бюджетное ограничение

,

- сумма долей равняется единице. Значение х ₂ мы можем выразить через х ₁

.

Обозначим

Задачу выбора портфеля с наименьшим риском можно записать

. (6.9)

Запишем условие первого порядка для данной задачи (возьмем производ­ную по x и приравняем ее к нулю)

,

откуда, при условии, что знаменатель не равен нулю, получим

. (6.10)

Формула (6.10) дает возможность определить портфель, риск (стан­дарт­ное отклонение доходности) которого минимален.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть r ₁₂=-1 тогда

,

.

В этом случае риск портфеля равен нулю

.

То есть, если доходность первого актива снизится, для портфеля в целом это будет полностью компенсировано ростом доходности второго актива.

2. В случае, когда r ₁₂=0, то есть какая-либо взаимосвязь между доходностью первого и второго актива отсутствует, портфель с наименьшим риском выбирается так:

, .

Стандартное отклонение такого портфеля будет равно. Если s ₁<1 и s ₂<1, риск портфеля будет меньше, чем риск каждого из отдельно взятых активов.

3. Когда r ₁₂=1, оптимальный портфель выбирается следующим образом:

, .

Риск такого портфеля также равен нулю:

,

но существует важное отличие от случая, когда r ₁₂=-1: при совершенной отрицательной корреляции оптимальные объемы инвестиций в каждый из активов были положительными. Здесь же, либо х*, либо 1-х* меньше нуля (причем, если х*<0, то (1-х*)>1, и наоборот). Отрицательный объем инвестиций означает короткую продажу - когда продается актив, взятый в долг с обязательством последующего возврата. Следовательно, в случае положительной корреляции, для того, чтобы получить портфель с минимальным риском, необходимо коротко продать один из активов, и инвестировать все имевшиеся и вырученные за счет короткой продажи средства во второй актив.

Дата добавления: 2014-10-17