Для побудови надійного інтервалу s обчислимо

119,9986 120,0014.

Тоді

Надійний інтервал для s

Виходять з того, що вибірка отримана із нормальної сукупності. При цьому величина розподілена по закону розподілу c² (§ 2.6) з (п -1) ступенями вільності. Слід відмітити, що для надійної ймовірності b можна побудувати інтервал нескінченним числом способів. Проте краще вибрати такі межі і , щоб

;

і .

. (4.65)

Це свідчить про те, що

. (4.66)

Таким чином надійний інтервал для s буде

g ₁ m , (4.67)

де і . (4.68)

При невеликій кількості випробувань

і . (4.69)

Величини і вибирають із таблиць розподілу (додаток 4) з числом ступенів вільності п або (п- 1) відповідно для ймовірності і р ₂ = 1 – р ₁.

По аналогії з інтервалом (4.67) можна побудувати надійний інтервал для середнього квадратичного відхилення простої арифметичної середини. Враховуючи формулу (4.57) отримаємо

. (4.70)

Приклад. Проведено експериментальні випробування світловіддалеміра на польовому компараторі з довжиною еталонної лінії l = 120,000 м. Точність приладу характеризується дисперсією m ² = 5 мм. Випробування проводяться серійно по 10 вимірів в кожному. Визначити інтервали математичного сподівання для кожної вибірки (серії вимірів) та стандартів s і при надійності ймовірності р = 0,95.

Розв’язання. Так як в кожній серії проводиться по п= 10 вимірів, то стандарт математичного очікування по формулі (4.56) буде

мм.

По таблицям функції Лапласа (додаток 1) для f = f(t) = 0,95/2 = 0,475 визначаємо t = 2,0. Тоді по формулі (4.59) при = 120,000 м маємо

120,000 – 2,0× 0,0007 120,000 + 2,0 × 0,0007, або

і р ₂ = 1 – р ₁ = 1 – 0,025 = 0,975.

По таблицям розподілу c² (додаток 4) методом лінійного інтерполювання визначаємо при п -1 = 9 і р ₁ = 0,025 та р ₂ = 0,975

;

За формулою (4.66) отримаємо

; .

По формулі (4.65) обчислюємо

або .

Відповідно

або

Питання для самоперевірки

1. Які задачі вирішує математична статистика?

2. Що таке генеральна сукупність та вибірка?

3. Що називають статистичною функцією розподілу?

4. Що таке ступінчатий графік та гістограма?

5. Як обчислити довжину та граничні значення інтервалів?

6. Запишіть формули числових характеристик статичного розподілу.

7. Як побудувати гістограму, ступінчатий графік і полігон частот?

8. Властивості доброякісних оцінок параметрів розподілу?

9. Якими способами можна оцінити параметри розподілу?

10. Що таке метод максимальної правдоподібності?

11. Назвіть точкові оцінки параметрів розподілу.

12. Що таке довірчі інтервали?

13. Як задати інтервал для математичного сподівання, дисперсії та стандарту?

Дата добавления: 2014-10-17