Формула полной вероятности и формула Байеса

Тема№7

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

.

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р (H_i)(i = 1,2,…,n)можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p (H_i / A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р (А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н₁ – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н₂ – переложены 2 разноцветных шара, Н₃ – переложены 2 черных шара. Тогда

р(Н) = р(Н_i) p(A/H_i) + p(H₂) p(A/H₂) + p(H₃) p (A/H₃).

Вероятности гипотез Н_i и условие вероятности p(A/ Н_i) (i = 1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

, , ;

, , .

Полученные результаты подставим в формулу (1):

.

б) Вероятность р(Н₁/А) находим по формуле Байеса:

.

Контрольное задание №7

1. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

2. 60% учащихся в школе – девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет принадлежал девочке? Мальчику?

3. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем один шар из урны I; в противном случае – из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара. а) Какова вероятность того, что вынутый шар красный? б) Какова вероятность того, что шар вынимался из I урны, если он оказался красным?

4. На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В – 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?

5. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.

6. В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется белым.

7. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5% и четвертым –0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.

8. В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой – 2 белых и 3 черных шара, во второй – 2 белых и 2 черных шара, в третьей – 3 белых и один черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен в первую урну. а) Какой состав шаров в первой урне представляется наиболее вероятным? б) Определите вероятность того, что во всех урнах состав шаров останется без изменения.

9. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,4. а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем последним?

10. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

Дата добавления: 2014-10-22