Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение двойного интеграла




Механическая и геометрическая трактовки

ТЕМА I. Кратные интегралы

Элементы теории векторных полей

Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

 

Электронный конспект лекций по дисциплине

«Математический анализ»
для студентов II курса

 

 

Оглавление

Оглавление. 2

ТЕМА I. Кратные интегралы.. 4

§1. Двойной интеграл: определение, свойства, 4

механическая и геометрическая трактовки. 4

§2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле. 10

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах 21

§ 4. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики 29

ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы.. 42

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения. 42

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. 49

§7. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода. 58

§ 8. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования. 64

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу. 72

§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения. 77

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса 85

ТЕМА III. Элементы теории векторных полей. 92

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 92

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 98

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков. 104

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 110

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля. 114

Глоссарий. 120

Вопросы для самопроверки. 124

 

 

§1. Двойной интеграл: определение, свойства,

Содержание

1.1. Определение двойного интеграла. 5

1.2. Основные свойства двойного интеграла. 6

1.3. Механическая трактовка двойного интеграла. 8

1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла. 8

 

Полное определение двойного интеграла
Рассмотрим функцию двух переменных , заданную и непрерывную в замкнутой области D XOY. 1. Разобьем область D на n малых элементарных частей произвольным образом. Обозначим через D Si площадь i -ой части, а через di - диаметр i -ой части. Число l = max , где i = 1,…, n, назовем рангом разбиения двумерной области D.

 

2. В каждой части разбиения выберем произвольную точку Pi (xi, yi) и вычислим значение функции f в ней: f () = f (Pi), i = 1, …, n, (Рис. 1)

3. Составим сумму парных произведений значений функции f (Pi) на площади D Si соответствующих частей разбиения:

(1)

эта сумма называется двумерной интегральной суммой функции f(x,y) в области D (двумерной суммой Римана).

4. Вычислим предел интегральной суммы (1) при условии, что ранг разбиения . Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные части и от выбора точек Pi в каждой части, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.

Обозначение и терминология:

(2)

D — область интегрирования;

f (x,y) — подынтегральная функция;
f (x,y) dS — подынтегральное выражение;
dS — бесконечно малый элемент области интегрирования

(дифференциал площади плоской области).

Краткая формулировка определения двойного интеграла (Кратко сформулируйте определение двойного интеграла)

Двойным интегралом от функции f (x,y) по области D называется конечный предел двумерной интегральной суммы, вычисленный при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму.

Диаметр плоской фигуры (Что такое диаметр плоской фигуры?)

Диаметр d плоской геометрической фигуры — это длина наибольшей хорды этой фигуры, то есть наибольшее расстояние между двумя точками этой фигуры.

Достаточное условие существования двойного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования двойного интеграла)

Если функция z = f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D существует.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 925; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.