Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Угол между плоскостями




Расстояние от точки до плоскости

Взаимное расположение плоскостей

1.

2.

3. .

 

М 0(х 0; у 0; z 0p, p: Ax+By+Cz+D= 0

(40)

Если p 1 || p 2, то их общие уравнения имеют вид

pi: Ах+Ву+Cz+Di=0, i=1,2 и тогда

(41)

 

Пусть плоскости p 1 и p 2 в ПДСК О xyz заданы уравнениями:

p 1:

p 2:

Углом между двумя плоскостями называют угол j между любыми двумя нормальными векторами плоскостей. Величина угла определяется по формуле:

(42)

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

 

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

p 1^ p 2 Û Û .

 

Пример 2.9. Составить уравнение плоскости a, параллельной плоскости O xz и проходящей через точку М 0(2;-5; 3).

Решение: По условию задачи a || O xz .

Поскольку координаты точки М0(2;-5;3) удовлетворяют уравнению плоскости Þ или .

Ответ: .

 

Пример 2.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось O y и точку М0(3, -1, 2).

Решение: Плоскость a проходит через ось O y Þ в общем уравнении плоскости D=0 и B=0 Þ .

Так как

Подставляем полученное выражение в уравнение плоскости:

.

Ответ: .


Пример 2.11. Найти объем пирамиды, отсекаемой плоскостью, заданной уравнением 2 x -3 y + z -12=0 от координатного угла. Выполнить графическую иллюстрацию.

Решение: Приведем уравнение плоскости к виду «в отрезках»:

 

Þ

– отрезки с соответствующим знаком, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью и совпадающие с ребрами пирамиды OABC. Т.к. отрезки взаимно перпендикулярны, то

(ед.3).

Ответ: 48 ед.3

Пример 2.12. Составить уравнение плоскости a, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение:

a: .

Ответ: .

 

Пример 2.13. Через точку Р (7;-4;4) провести плоскость, перпендикулярную отрезку PQ, если Q (1;3;-2).

Решение: Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку Р, перпендикулярно вектору

(35) Þили .

Ответ: .
Пример 2.14. Составить уравнение плоскости b, проходящей через точки M 1(1;1;1) и M 2(2;3;4), перпендикулярно плоскости .

Решение:

1 способ. По условию и .

Тогда M 1(1;1;1)Î b, тогда (31) Þ

Þ

Þ

b: 31 x + y - 11 z - 21=0.

2 способ. Поскольку имеются точки, лежащие в искомой плоскости , то достаточно найти вектор нормали .

Þ .

Þ .

Подставим найденное значение во второе уравнение:

.

Поскольку плоскость имеет множество нормальных векторов, то координаты любого из них можно найти с точностью до кратного множителя. Пусть, например, В =1, тогда А =31, С =-11 и .

Составим искомое уравнение:

(35) Þ Þ .

Ответ: 31 x + y - 11 z - 21=0.


Пример 2.15. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на осях O x и O y направленные отрезки .

Решение: Воспользуемся уравнением плоскости «в отрезках»:

, где с ¹ 0 (объясните почему).

a: 2 cx – 3 cy + 6 z = 6 с.

Так как , то нормаль плоскости Þ Þ

Þ Þ с = 6.

Получаем

.

Ответ: .

 

Пример 2.16. Найти расстояние между параллельными плоскостями , и расстояние от точки до каждой из плоскостей.

Решение: Найдем расстояние от точки М 0 до плоскостей используя формулу (40)

.

Плоскости a 1 и a 2 параллельны, так как . Уравняем коэффициенты при неизвестных в уравнениях плоскостей, для чего уравнение плоскости a 1 домножим на 2


Для нахождения расстояния между плоскостями воспользуемся формулой (41):

.

Ответ: 2,5; 2 и 4,5.

 

Пример 2.17. Вычислить угол между плоскостями и .

Решение: Для вычисления угла между плоскостями, найдем угол между нормальными векторами плоскостей.

Нормали плоскостей: и

(42) Þ Þ .

Ответ: .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 2737; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.