Пример 3.2

Поверхности вращения

Поверхность вращения образуется вращением плоской линии вокруг прямой (оси вращения) таким образом, что каждая точка линии описывает окружность.

При условии, что в качестве оси вращения будем рассматривать одну из координатных осей, для получения уравнения поверхности вращения можно использовать следующее правило: зная уравнение вращающейся линии, необходимо в этом уравнении оставить неизменной координату, одноименную с осью вращения, а другую – заменить на корень квадратный из суммы квадратов двух других координат (разноименных с осью вращения).

а) Составить уравнение поверхности, образованной вращением окружности x²+y²=R² вокруг оси Oy.

Решение: Заменим в уравнении окружности, согласно правилу, x на . Тогда или x² + y² + z² = R².

Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы с центром в начале координат и радиусом R.

б) Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой z=y вокруг оси Oz.

Решение: Заменим в уравнении прямой y на . Получаем:

Þ Þ

получаем уравнение конической поверхности:

(71)

Ответ: а) x² + y² + z² = R² - сфера

б) - конус.

Достаточно познавательным, на наш взгляд, является рассмотрение различных типов сечений конической поверхности. Дело в том, что термин «конические сечения» объясняет родство всех кривых второго порядка – эллипса, гиперболы, параболы (случаи распадающихся кривых здесь не рассматриваем), которые можно получить при пересечении конуса плоскостями, по-разному наклоненными к его оси.

В свою очередь, вращение конических сечений (эллипса, гиперболы, параболы) вокруг их осей образует такие поверхности вращения как:

- эллипсоид вращения

- однополостный гиперболоид вращения

- двуполостный гиперболоид вращения

- параболоид вращения.

Поверхности вращения являются частным случаем поверхностей второго порядка общего вида. Всего в пространстве существует 17 типов поверхностей второго порядка, полный перечень которых приведен в таблице.

№	Тип поверхности	Каноническое уравнение	Геометрический вид	Примечание
Эллипсоиды
1.	Эллипсоид			При сфера
2.	Мнимый эллипсоид			Нет действительных точек
Гиперболоиды
3.	Однополостный гиперболоид
4.	Двуполостный гиперболоид
Параболоиды
5.	Эллиптический параболоид
6.	Гиперболический параболоид (седло)			Оz – ось симметрии, В сечении плоскостью параллельной О ху - гипербола
Конические поверхности
7.	Конус
8.	Мнимый конус			Одна действительная точка (0; 0; 0)
Цилиндрические поверхности
9.	Эллиптический цилиндр			Образующие параллельны оси Оz. Направляющая-эллипс в плоскости О ху
10.	Мнимый эллиптический цилиндр			Нет действительных точек
11.	Гиперболический цилиндр			Образующие параллельны оси Оz. Направляющая-гипербола в плоскости О ху
12.	Параболический цилиндр			Образующие параллельны оси Оz. Направляющая-парабола
Распадающиеся поверхности
13.	Пара пересекающихся плоскостей			Плоскости пересекаются по оси O z
14.	Пара мнимых пересекающихся плоскостей			Две мнимые плоскости пересекаются по действительной прямой O z
15.	Пара параллельных плоскостей	()		Плоскости параллельны O уz
16.	Пара мнимых параллельных плоскостей	()		Нет действительных точек
17.	Пара совпадающих плоскостей			Плоскость O уz

Для того чтобы определить тип поверхности второго порядка, заданной общим уравнением, обычно используют метод выделения полных квадратов, в результате применения которого уравнение поверхности приводится к каноническому виду. Суть метода рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 3.3. Определить тип поверхности второго порядка, заданной уравнением:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение:

а) . Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную z, и выделим полный квадрат:

.

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x, и выделим полный квадрат:

. Сделаем замену переменных: и

подставим новые переменные в полученное уравнение:

- гиперболический параболоид (седло).

б) . Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x, и выделим полный квадрат:

.

Приведем подобные члены:

.

Получаем или

- уравнение параболического цилиндра.

в) . Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:

.

Сделаем замену: и подставим новые переменные в полученное уравнение:

- эллиптический цилиндр.

г)

или - мнимый конус с действительной точкой (0; 1; -1).

Ответ: а) - гиперболический параболоид (седло)

б) - параболический цилиндр

в) - эллиптический цилиндр.

г) - мнимый конус.

Пример 3.4. Показать, что поверхность распадается на пару плоскостей. Для случая невырожденных плоскостей найти их уравнения.

а) ;

б) .

Решение:

а) . Сгруппируем и выделим полные квадраты:

.

Подставим новые переменные в полученное уравнение:

.

Полученное каноническое уравнение определяет пару мнимых пересекающихся плоскостей (a=b=1). Случай вырожденный.

б) .

1 способ. Выделим полный квадрат при переменной z.

Используя замену , получаем

.

Данное уравнение определяет пару пересекающихся плоскостей.

Найдем уравнения плоскостей, используя формулу сокращенного умножения:

2 способ:

Т.о., уравнения плоскостей имеют вид: и

Ответ:

а) пара мнимых пересекающихся плоскостей

б) пара пересекающихся плоскостей с уравнениями: ,

Дата добавления: 2014-10-22