Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае

Теорема о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования (двумерный случай)

Для того чтобы криволинейный интеграл II рода не зависел от формы линии интегрирования (AB), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:   1. , (1) то есть равен нулю интеграл по любому замкнутому контуру (L), на котором лежат точки A и B.   2. , (2) причем частные производные и являются непрерывными и равными во всех точках некоторой области D, содержащей линию (AB).   3. Существует дифференцируемая функция двух переменных U (x,y) такая, что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом: (3)

Доказательство

w Сформулированная сложная теорема включает в себя несколько теорем. Логика её доказательства может быть описана такой схемой:

не зависит от формы линии (АВ) (1) (2) (3) (*)
В соответствии с этой схемой проведем доказательство в 3 этапа.

1этап

Докажем первое условие (необходимость и достаточность), используя свойства криволинейного интеграла II рода (аддитивность и зависимость от направления на линии интегрирования).

Пусть (АВ)₁ и (АВ)₂ – это две различные, произвольно взятые, линии, соединяющие точки А и В, тогда

не зависит от формы линии (AB)

Таким образом, в логической схеме (*) доказан переход

не зависит от формы (AB) .

2 этап

Эквивалентность условий (1) и (2) в схеме (*) следует из формулы Грина

.

Действительно, если для всех точек некоторой области ,

то ,

где (L) – это замкнутая линия, ограничивающая область D;

таким образом, в схеме (*) доказан переход (1) (2), то есть достаточность условия (2) для (1).

Обратно, если при (l), то формула Грина даёт, что для любой области D, ограниченной произвольно взятым контуром l.

Равенство нулю двойного интеграла по произвольно взятой области D возможно только в случае тождественного равенства нулю подынтегральной функции, следовательно

для любых (x, y).

Этот последний вывод можно обосновать рассуждениями от противного:

пусть хотя бы в одной точке (x 0, y 0)будет , но .

тогда по непрерывности частных производных и будет в некоторой области , причем ,и во всей области разность сохраняет свой знак (см. свойства непрерывных функций); поэтому, если взять двойной интеграл по области от функции фиксированного знака, то он никогда не получится равным нулю, что противоречит выводу из формулы Грина.

Следовательно, неверным является предположение об отличии от нуля (хотя бы в одной точке) непрерывной функции, интеграл от которой равен нулю по любой области интегрирования.

Следовательно, верным является вывод о равенстве нулю непрерывной функции, интеграл от которой равен нулю по любой области интегрирования.

Таким образом, в схеме (*) доказан переход (1)(2), то есть необходимость условия (2) для (1).

Следовательно, показана эквивалентность условий (1) и (2): (1) (2).

3 этап

Докажем эквивалентность условий (2) и (3) в схеме (*)

Легко доказывается следствие (3) (2) на основании свойства смешанных частных производных второго порядка для ФНП:

пусть существует функция , такая что ;

так как по определению полного дифференциала ФНП имеем, что , то и и ; известно, что , если они непрерывны, поэтому , следовательно, равенство частных производных выполняется во всей области их существования и непрерывности.

Переход (2) Þ (3) доказывается сложнее и, например, следующим образом.

Дано, что равенство выполняется в некоторой области D итребуется доказать, что существует функция U (x, y), такая что .

Так как при , то по доказанному уже условию (2) это гарантирует, что криволинейный интегралне зависит от формы линии (AB).

Выберем линию интегрирования (AB) так, чтобы она соединила некоторую фиксированную точку (x 0; y 0) и переменную точку (x, y) по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (так всегда можно сделать, оставаясь в области непрерывности функций P и Q и их частных производных).

Вычислим криволинейный интеграл по ломаной (ACB), используя свойство его аддитивности, и получим результат, зависящий от координат конечной точки

(x; y):

.

Вычислим, используя теорему Барроу, правило Лейбница для дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, и равенство:

Для вычисления достаточно использовать только теорему Барроу:

.

Теперь составим полный дифференциал функции U (x, y):

Таким образом, построена искомая функция

и тем самым доказан переход (2)Þ(3). 3-й этап доказательства закончен.

Полное доказательство теоремы завершено.v

Дата добавления: 2014-10-15