Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Описание решения




Постановка задачи в двумерном случае

Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу

Содержание

9.1. Постановка задачи в двумерном случае. 72

9.2. Описание решения. 72

 

Это одно из приложений криволинейного интеграла II рода.

 

Дано выражение полного дифференциала функции двух переменных:

.

Найти функцию .

 

1. Так как не всякое выражение вида является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y), то необходимо проверить корректность постановки задачи, то есть проверить необходимое и достаточное условие полного дифференциала, которое для функции 2-х переменных имеет вид . Это условие следует из эквивалентности утверждений (2) и (3) в теореме предыдущего параграфа. Если обозначенное условие выполнено, то задача имеет решение, то есть функцию U (x, y) восстановить можно; если условие не выполнено, то задача не имеет решения, то есть функцию восстановить нельзя.

2. Найти функцию по ее полному дифференциалу можно, например, с помощью криволинейного интеграла II рода, вычислив его от по линии, соединяющей фиксированную точку (x 0, y 0) и переменную точку (x;y) (Рис. 18):

записываем параметрические уравнения любой линии l: и сводим криволинейный интеграл к определённому интегралу

Таким образом получено, что криволинейный интеграл II рода от полного дифференциала dU (x, y) равен разности значений функции U (x, y) в конечной и начальной точках линии интегрирования.

Зная теперь этот результат, нужно подставить вместо dU в криволинейный интеграл выражение и провести вычисление интеграла по ломаной (ACB), учитывая его независимость от формы линии интегрирования:

на (AC): на (СВ):

(1)

Таким образом, получена формула, с помощью которой восстанавливается функция 2-х переменных по ее полному дифференциалу .

 

3. Восстановить функцию по ее полному дифференциалу можно только с точностью до постоянного слагаемого, так как d (U + const) = dU. Поэтому в результате решения задачи получаем множество функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.

Примеры (восстановление функции двух переменных по ее полному дифференциалу)

1. Найти U (x, y), если dU = (x 2y 2) dx – 2 xydy.

Решение

Проверяем условие полного дифференциала функции двух переменных:

— условие полного дифференциала выполнено, значит, функцию U (x, y) восстановить можно.

 

 

Проверка: – верно.

Ответ: U (x, y) = x 3/3 – xy 2 + C.

 

2. Найти функцию , такую что

Решение

Проверяем необходимые и достаточные условия полного дифференциала функции трех переменных: , , , если дано выражение .

В решаемой задаче

, ,

все условия полного дифференциала выполнены, следовательно, функцию восстановить можно (задача поставлена корректно).

Будем восстанавливать функцию с помощью криволинейного интеграла II рода, вычислив его по некоторой линии, соединяющей фиксированную точку и переменную точку , так как

(это равенство выводится так же, как и в двумерном случае).

С другой стороны, криволинейный интеграл II рода от полного дифференциала не зависит от формы линии интегрирования, поэтому его проще всего считать по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. При этом в качестве фиксированной точки можно взять для просто ты взять точку с конкретными числовыми координатами, отслеживая лишь только, чтобы в этой точке и на всей линии интегрирования выполнилось условие существования криволинейного интеграла (то есть чтобы функции , и были непрерывными). С учетом этого замечания в данной задаче можно взять фиксированной точкой, например, точку М0. Тогда на каждой из звеньев ломаной будем иметь

на , на , на

Проверка:

Ответ: , где - это произвольная постоянная.


§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения

Содержание

10.1. Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода. 78

10.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода. 79

10.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода. 81

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 7039; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.