Нормальное распределение. Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:

Если плотность распределения (дифференциальная функция) случайной переменной определяется выражением:

(5.10)

то говорят, что Х имеет нормальное распределение с параметрами а и. Вероятностный смысл параметров: =М(X), а . Обозначение:

Для расчета вероятности попадания нормально распределенной случайной величины Х в промежуток от до используется формула:

(5.11)

(интеграл Лапласа)

Формула (5.11) иногда в литературе называется интегральной теоремой Лапласа.

Функция обладает свойствами:

3 ) (см. таблицу приложения 2).

Функция табулирована. В частности для симметричного относительно а промежутка имеем:

(5.12)

Формула (5.12) применима и к частоте m, поскольку ее закон распределения при достаточно большом числе испытаний практически совпадает с нормальным. Применительно к случайной величине m, с учетом ее числовых характеристик

M(m) = np и (5.13)

формула (5.12) примет вид:

(5.14)

Формула (5.12) может быть применена и к относительной частоте с числовыми характеристиками и (5.15)

(5.16)

С вероятностью, очень близкой к единице (равной нормально распределенная случайная величина Х удовлетворяет неравенству:

(5.17)

В этом состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает .

Локальная теорема Муавра-Лапласа. При ри p1 и достаточно большом n биноминальное распределение близко к нормальному закону (причем их математические ожидания и дисперсии совпадают), т.е. имеет место равенство:

, где , a =nр

Тогда:

(5.18)

для достаточно больших n (здесь (х) - плотность вероятностей стандартной нормальной случайной величины и ).

Пример 5.1. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш - случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950 кг и средним квадратическим отклонением s = 150 кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши:

а) окажется больше 1250 кг;

б) окажется меньше 850 кг;

в) будет находиться между 800 и 1300 кг;

г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг;

д) отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг;

е) Найдите границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения (проиллюстрируйте правило трех сигм);

ж) С вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши. Какова при этом условии максимальная величина отклонения веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания?

Решение. а) Вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1250 кг – можно понимать как вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется в интервале от 1250 кг до +∞.

Формула расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной велечины Х имеет вид:

,

где Ф₀(z) - функция Лапласа:

Функция Ф₀(z) является нечетной функцией; т.е. Ф₀(-z) = -Ф₀(z).

Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши окажется больше 1250 кг. По условию: a = 1250, b = +¥, а = 950, s = 150.

Дата добавления: 2014-10-22