Конец доказательства. Переставим в каждом произведении множители так, чтобы номера строк располагались в порядке возрас

Доказательство.

Переставим в каждом произведении множители так, чтобы номера строк располагались в порядке возрастания . Это означает, что нужно выполнить обратную подстановку

для номеров строк. Каждая перестановка имеет только одну обратную. Поэтому суммирование по перестановкам можно заменить суммированием по обратным перестановкам

Далее, по теореме 4.? четность перестановки равна четности обратной к ней перестановки

Откуда следует равенство

.

Следствие 5.1.1. В любом определителе строки и столбцы обладают одинаковыми свойствами. Это означает, что, если доказано некоторое свойство для строк, то аналогичное свойство справедливо для столбцов. Справедливость следствия основано на том факте, что при транспонировании определителя строки и столбцы меняются местами.

Свойство 5.2. Если в определителе поменять местами 2-е строки или 2‑а столбца, то знак определителя изменится на противоположный.

Доказательство. Поменяем местами в определитле

i -ю и j -ю строки местами . Тогда получим

Перестановка только транспозицией отличается от перестановки , поэтому их четности противоположны

Тогда

Отсюда получаем

Дата добавления: 2014-10-22