Частные функции

Определение функции нескольких переменных.

Изучение производной при исследовании функций и построения графиков.

Лекция № 2

Тема: Дифференциальное исчисление

План:

Цели: создание благоприятных условий для изучения производной при исследовании и построении графиков функций; ввести понятие функции нескольких переменных.

I. Вопросы для повторения

1) Что называется функцией y = f (x)?

2) Какая функция называется возрастающей на промежутке?

3) Какая функция называется убывающей на промежутке?

4) Какая функция называется монотонной на промежутке?

II. Текст для чтения

С помощью производной можно определить монотонность функции на любом промежутке области определения.

Рисунок 12

Рисунок 13

Функция y = f (x) (Рисунок 13) возрастает на промежутке (a; b). Касательная в любой точке функции y = f (x) образует с положительным направлением оси Ox острый угол или угол, равный 0. Значит, . Но .

Производная функции y = f (x) в каждой точке (a; b) неотрицательна.

Необходимое условие возрастания функции:

Если функции y = f (x) возрастает на (a; b), то для всех x, принадлежат (a; b).

Пример: Функция возрастает на , т.к. .

Функция (Рисунок 12) убывает на (a; b)

Касательная в любой точке графика функции образует с положительным направлением оси Ox или тупой угол, или угол, равный нулю. Значит, tg.

Но .3

Необходимое условие убывания функции:

Если функция y = f (x) убывает на ] a; b [, то для всех x, принадлежащих (a; b).

Пример: функция убывает на (-;0 ], так как ее производная на этом промежутке отрицательна.

Справедливы и обратные теоремы.

Теорема (достаточное условие возрастания функции):

Если f '(x)>0 для всех x, принадлежащих (a; b), то функция y = f (x) возрастает на (a; b)

Теорема (достаточное условие убывания функции):

Если f '(x)<0 для всех x, принадлежащих (a; b), то функция y = f (x) убывает на (a; b)

Значит, чтобы найти промежутки монотонности, нужно:

1)найти область определения функции y=f(x),

2)вычислить производную функции f'(x),

3)решить уравнение f'(x)=0

4)отметить на числовой прямой область определения функции и критические точки;

3)определить знак производной f'(x) на каждом промежутке.

Задача 1.Найти промежутки монотонности функции

1. D (x)= R

2.

3.Решить неравенства и методом интервалов.

Ответ: функция y = f (x) возрастает на и

убывает на .

Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Упражнения

Найти промежутки монотонности функций:

1)

2)

3)

4)

5)

Дата добавления: 2014-10-22