Ограниченные последовательности

Приведем три примера.

1) у_n = n². Это аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n², …

Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n= 9, то у₉ = 9² = 81, если

2) у_n = С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, ….. Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3) у_n = 2ⁿ. Это аналитическое задание последовательности 2, 2², 2³, ….,2ⁿ, …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n - й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (а _n), заданная рекуррентно соотношениями:

а _1, = а, а _n+1 = а _n+ d

( а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии )

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (b _n)? Заданная рекуррентно соотношениями:

b _1, = b, b _n+1 = b _n· q

( b и q – заданные числа, b≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии ).

Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у₁ =1; у₂ = 1; у_n = у_n-2 + у_n-1

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

у₁ =1; у₂ = 1; у₃ =1+1 = 2; у₄ = 1+ 2 = 3; у₅ =2+3 =5; и т.д.

· Последовательность (х_n) называется ограниченной, если существуют такие два числа m и М, что для всех n N выполняется неравенство m≤ х_n ≤М.

· Последовательность (х_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n N выполняется неравенство х_n ≤М.

· Последовательность (х_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n N выполняется неравенство m≤ х_n

Например: последовательность (х_n), заданная формулой общего члена х_n = n, ограничена снизу (например, число 0) и не ограничена сверху.

Дата добавления: 2014-10-22