Свойства сходящихся последовательностей

0 0,25 0,5 1

У

Замечаем, что члены последовательности (x_n) как бы «сгущаются» около точки 0 – говорят последовательность сходятся, а у последовательности (у_n) такой точки сгущения нет – и говорят, что последовательность расходится.

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом последовательности (у_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так: у_n→b или читают так: предел последовательности у_n при стремлении n к бесконечности равен b.

На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у_n = f(_n) сходится к числу b, то выполняется приближенное равенство f(_n)≈b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Если , то последовательность у_n= qⁿ расходится.

Дата добавления: 2014-10-22