Решение. Векторно-скалярное произведение векторов

Решение.

Решение.

Пример № 1.5.

Векторно-скалярное произведение векторов

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх векторов называется число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах.

обозначение смешанного произведения векторов.

Эти три вектора некомпланарны, т.е не лежат в одной плоскости. Поэтому, если, то это необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Смешанное произведение векторов, заданных в координатах.

Если векторы заданы в координатах, т.е то смешанное произведение векторов вычисляется через определитель третьего порядка

.

Найти если.

.

Задача № 1.6

Найти объём V пирамиды, данной координатами вершин пирамиды А ₁(0, 1, 2), А ₂(4, 3, –2), А ₃(–4, 5, 0).

Можно доказать, что объём пирамиды равен модуля векторно-скалярного произведения, составленного из трёх векторов-рёбер, выходящих из одной вершины.

Составим векторы

.

Найдём V_{пирамиды}:

куб. ед.

V_{пирамиды} = V _{параллелепипеда} =

куб. ед.

Задача № 1.7.

Доказать компланарность векторов, проходящих через точки

А (2, –1, –2), В (1, 2, 1), С (2, 3, 0), D (5, 0, –6).

Векторы компланарны, если они лежат в одной плоскости (рис. 1.8). Тогда объём параллелепипеда, построенного на этих векторах равен 0, т.е. смешанное произведение равно 0.

Составим векторы

Рис.1.8

,

,

.

Смешанное произведение векторов.

=(–1)(–16 – 2) – 3(0 – 12)=18+18 – 36 = 0.

Контрольные вопросы:

Что называется вектором?

Как определяются координаты вектора и его длина?

Что такое орт?

Приведите примеры коллинеарных векторов.

Что такое скалярное произведение векторов?

Чем определяется векторное произведение векторов?

Что определяет векторно-скалярное произведение векторов?

Какие вектора называются компланарными?

Сформулируйте необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Контрольные задания

Даны векторы и. Найти;;.

Даны точки А (3; –1), В (0; –5) и С (–2; 1). Найти

3.^* Даны точки А (4; 0), В (–1; 3) и С (5; 7). Найти;;

4. Найти длины векторов

5. Даны точки А (3; 5); В (–3; 3); С (5; –8). Найти длины векторов.

6.^** Дан треугольник с вершинами А (7; 7), В (4; 3), С (3; 4). Найти его периметр.

7. Найти сумму векторов и, если

8. Найти разность векторов и, если

9. Дан вектор Найти

10. Вектор задан точками и. Найти:

11.^* Векторы заданы точками A (–3; 5; 0), B (–1; 4; 2), C (0; –3; 5), D (6; –7; 8). Найти:

12.^* Вычислить длины векторов

13. Вычислить длину вектора, заданного координатами своих начала и конца вектора:

a. A (5; 3; –1), B (4; 5; 1); b. C (3; –2; –5), D (7; 6; –1).

14.^** Найти периметр треугольника с вершинами:

A (3; –2; 8), B (–1; 3; –3), C (5; 1; –7).

15. Заданы векторы, такие что,, а угол между ними равен. Найти.

16.^* Заданы векторы, такие что,, а угол между ними равен. Найти;.

17. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами на плоскости:

a. = (5; 7), = (4; 3); b. = (2; 0), = (–3; –7);

c. = (–3; 5), = (16; 1); d. = (–3; 1), = (1; –3);

e. = (5; –7), = (7; 5); f. = (2; 0), = (0; –3).

18. Найти угол между векторами, если:

a. =(4; 0) и =(2; –2); b. =(5; –3) и =(3; 5);

c. = (–2; 3) и= (9; 12); d.= (–2; 3) и= (4; –1).

19. Найти угол между векторами и, если А (1; 6),
В (1; 0), С (–2; 3).

20.^* Найти углы треугольника с вершинами А (6; 7), В (3; 3), С (1; –5).

21. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в пространстве:

a. = (1; –3; 6), = (–2; 4; 0); b.= (0; –3; 5), = (1; –1; –4); c.= (2; –5; 3), = (–1; 7; –2);

d.= (2; 6; 5), = (5; –4; –2); e.= (5; –5; 8), = (–4; 5; 2); f.= (–3; 3; –2), = (6; 1; –6).

22. Найти угол между векторами и, если
А (–1; 2; 5), В (1; –4; 3), С (2; 5; 3).

23.^* Даны точки А (1; 0; –2), В (4; 3; 7), С (2; –3; 5), D (–1; 6; 0). Найти угол между векторами:

а) и;

б) и.

24.^* Найти углы треугольника с вершинами в точках
А (2; –2; 0), В (7; –3; 1), С (1; –1; 5).

25.^** Определить при каком значении m векторы
(m; –3; 2) и (1; 2; –m) взаимно перпендикулярны.

Глава 2

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

2.1. Уравнение прямой на плоскости,
различные виды уравнений

Угол между прямыми.

На координатной плоскости XOY положение прямой определяется углом α, где α – угол наклона прямой к оси OX и отрезком “b”, который они отсекают на оси OY.

Чтобы написать уравнение этой прямой, возьмём на ней произвольную точку М (x, y) и найдём соотношение между её координатами (см. рис. 2.1). Из треугольника BMС имеем: или в координатной форме: – угловой коэффициент прямой, обозначается k. Отсюда или => y = kx + b – получили уравнение прямой с угловым коэффициентом.

1. Уравнение прямой через данную точку (см. рис. 2.1)

Рис. 2.1

Возьмем на прямой точки M (x, y), M ₁(x ₁, y ₁).

Составим треугольник MM ₁ C. Из него получим:

(1).

CM = y – y ₁, M ₁ C = x – x ₁ подставим (1) или

y – y ₁ = k (x – x ₁) – уравнение через точку M ₁ (см. рис. 2.2).

Рис.2.2

2. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М ₁ и М ₂ можно вывести аналогично из подобия треугольников ММ ₁ D и М ₁ М ₂ C

или (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

3. Общий вид уравнения прямой.

Замечаем, что все полученные уравнения обладают тем свойством, что во все уравнения координаты текущей (произвольной) точки M (x, y) входят линейно, т.е. в степени.

Все эти уравнения являются частным случаем уравнения вида: Ax + By + C = 0, где A, B, C – произвольные постоянные числа.

Построим прямую по её общему уравнению.

Задача 2.1: Построить прямую по её общему уравнению
3 x – 4 y + 12=0.

Дата добавления: 2014-10-22