КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Решение. Приведем уравнение прямой к нормальному виду, умножив его на нормирующий множительРешение. Решение. Решение. Решение. Приведем уравнение прямой к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель . Подставим х = –1, у = 2 в уравнение . Задача 2.8. Составить уравнение биссектрисы угла для двух прямых 3 х – 4 у + 12 = 0 и 12 х + 5 у – 7 = 0 (см. рис. 2.8).
Рис. 2.8 Выберем на биссектрисе произвольную т.. Найдем расстояние d 1 и d 2 до прямых ,. Свойство точек, лежащих на биссектрисе – равноудаленность от прямых – используем для получения уравнения биссектрисы. =, получим, отсюда – искомое уравнение биссектрисы I и – уравнение II биссектрисы. По чертежу можно определить искомую прямую. , если, то если, то – координаты точек, пересечения с осями совпадают с найденными. Следовательно, искомая биссектриса имеет уравнение: – биссектриса угла. Глава 3 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
3.1. Уравнение плоскости в пространстве Рассмотрим в пространстве декартовой системы координат плоскость, проходящую через произвольную точку M (x, y, z) и перпендикулярную некоторому вектору (см. рис. 3.1). Возьмем на плоскости произвольную точку и построим вектор. Полученный вектор (по свойству: прямая к плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости). Условие перпендикулярности векторов – их скалярное произведение = 0,, вектор = – (из координат конца вычесть координаты начала).
Рис.3.1 Отсюда: – условие I или, т.к. – постоянное число, обозначим его D. Ax + By + Cz + D = 0 – получим общее уравнение плоскости, где А, В, С – проекции нормального вектора плоскости. Задача 3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно к вектору. 1(x – 2) + 2(y + 1) – 4(z – 3) = 0 x + 2 y – 4 z + 12 = 0, уравнение искомой плоскости.
Задача 3.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через M (2, 1, –2) параллельно плоскости:. Т.к. плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, т.е. {–3, –4, –12} – вектор первой плоскости коллинеарен для искомой плоскости. Возьмем вектор, т.е. ={–3, –4, –12}, т.к. коэффициент соответственных координат может равен 1. Тогда уравнение плоскости запишется:
или .
3.2. Уравнение плоскости, проходящей Пусть плоскость проходит через 3 данные точки, не лежащие на одной прямой: (),. Любая произвольная точка M (x, y, z) образует с данными векторы,, – лежащие в одной плоскости – т.е. векторы компланарны (см. рис. 3.2).
Рис. 3.2
Условие их компланарности будет векторным уравнением плоскости:
Запишем это уравнение в координатной форме, используя условие компланарности векторов, заданных в проекциях.
=0
Задача 3.3. Записать уравнение плоскости грани пирамиды, проходящей через т.,если (2, 0,–2), (6, 2, –6), (–2, 4, –4). Образуем векторы, лежащие в плоскости. Возьмем произвольную точку M (x, y, z). Тогда получаем уравнение через определитель III порядка: =0 Раскроем определитель =0
(сокращаем на –4)
– уравнение плоскости.
3.3. Нормальное уравнение плоскости. Аналогично тому, как выводится нормальное уравнение прямой из общего уравнения, так же получается и нормальное уравнение плоскости. По аналогии запишем: – общее уравнение плоскости, тогда нормирующий множитель: N = и x + y + z + + = 0 или – нормальное уравнение плоскости. Углы a, β, γ – углы образованные нормальными векторами с осями координат. Расстояние от точки до плоскости рассчитывается по формуле: d=.
Задача 3.4. Дана плоскость и точка (1, 0, 0). Найти расстояние от точки до плоскости.
Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 378; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |