Примеры. Основные формулы интегрирования

Примеры.

Примеры.

Основные формулы интегрирования

Свойства неопределенного интеграла

1)

2), постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

3) – интеграл от суммы равен сумме интегралов.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

1. по (1).

2. по (3).

3. по (7).

4. по (10).

5.представляет (2), где По этой формуле

6. – представляет формулу (5) при. Поэтому

7. т.к. по (4) формуле, где получим

Можно проверить правильность вычисления дифференцированием.

Например.

1. по (1)-й формуле

,

Проверка.

– получим ….

2. по (9), где u = x, a ² = 2.

Проверка.

3., по формуле (3).

Проверка.

по формуле (8).

Проверка.

6.2. Интегрирование разложением
подынтегральных функций на слагаемые

1.

3.

4.

5. – возведем в квадрат и образуем сумму

=

6. – разложим дробь на две дроби

=

2 xdx + d (x ²–5), u = x ² – 5 по формуле (2) имеем

7.

8.

6.3. Интегрирование посредством замены
переменной

Для нахождения интеграла можно заменить переменную x переменной t, связанной формулой x = φ(t), dx = φ′(t) dt и получим – полученный интеграл преобразуем к переменной х

1. замена x = t ², тогда dx = 2 tdt, t =

– получим неправильную дробь. Выделим целую часть, добавив в числитель 1 и вычтем 1.

разбиваем на два слагаемых

2.

3)

6.4. Интегрирование по частям

Из формулы дифференциала произведения d (U'V) = UdV + VdU интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям:

В этой формуле отыскание интеграла сводится к решению другого интеграла

За dV всегда выбирается такое выражение, содержащее dx, из которого интегрированием можно найти V; за U принимается формула, которая при дифференцировании упрощается (например arcsin x, ln x, x ³).

1.

2.

3.

интеграл вычислим отдельно. Выделим целую часть дроби, прибавив в числителе 1 и вычтя 1.

=

окончательно получаем:

4.

5.

– к последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям

Ответ.

6.

7.

– к последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям: x = U; dU = dx;
dV = e ^{–2 x}dx;

6.5. Интегрирование рациональных функций

где P (x) и Q (x) – многочлены.

Интегралы от функций например можно найти путём разложения на слагаемые, которые приводят всегда к формулам интегрирования.

Например, таким:

1.;

2.,

3).

Если степень числителя выше степени знаменателя или равна ей, то дробь называют неправильной и всегда нужно выделить целую часть, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Например:

, степень числителя равна 5, а знаменателя 4. Дробь неправильная. Выделим целую часть, для этого поделим углом числитель на знаменатель.

В частном получим x-целая часть, в остатке –числитель неправильной дроби.

.

Для вычисления правильной дроби используем основную теорему алгебры; правильную дробь можно разложить на сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами

– разложим на простейшие. Найдем A, B, C, D – неопределенные коэффициенты.

– привели к общему знаменателю.

Уравняем коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой части

Подставим найденные значения A, B, C, D в разложение и вычислим интегралы.

Дата добавления: 2014-10-22