Производная сложной функции

Производная обратной функции

Теорема о производной обратной функции. Если для функции существует обратная функция , которая в рассматриваемой точке у имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную , равную , т.е. справедлива формула

Теорема о производной сложной функции. Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет при соответствующем значении производную , то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая равна

,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

Цепочка, задающая как сложную функцию , может состоять не только из двух, но и из большего числа звеньев:

Здесь и - промежуточные переменные.

Например, функция сложная, так как зависимость от выражается следующей цепочкой основных элементарных функций:

Поэтому для функций:

где u - функция x, таблица производных принимает вид:

(3)

1) ;	7)
2) ;	8)
3)	9)
4)	10)
5)	11)
6)

Для практической реализации правила дифференцирования сложной функции нужно уметь записать эту функцию в виде цепочки основных элементарных зависимостей. А для этого надо четко представить, какие операции и в каком порядке производятся над независимой переменной в аналитическом выражении, задающем эту функцию, и результат каждой операции обозначить буквой.

Пример 1. Записать зависимость y от x в виде цепочки основных элементарных функций, если

Дата добавления: 2014-10-22