Геометрический смысл производной

Геометрический и физический смысл производной

Занятие 5

Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой области D. Графиком этой функции служит непрерывная кривая, изображенная на рис. 1.

Рис.1

Зафиксируем на кривой точку . Аргументу зададим приращение , функция получит приращение . Получаем на графике точку .

Прямая, проходящая через точки и называется секущей графика функции . Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая стремится занять положение прямой .

Предельное положение секущей называется касательной к графику функции в точке .

Обозначим угол между секущей и положительным направлением оси ОХ через , а угол между касательной и этой же осью через .

Очевидно, что .

При , что означает

,

т.е. геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с положительным направлением оси ОХ.

Тангенс угла

между прямой и положительным направлением оси ОХ называется угловым коэффициентом прямой. Таким образом, можно составить уравнение касательной, используя формулу для составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку и угловой коэффициент. Уравнение касательной имеет вид:

.

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Ее уравнение имеет вид:

.

Угол между двумя кривыми и в их общей точке определяется как угол между двумя касательными к этим кривым в точке по формуле:

.

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке (-2;4).

Дата добавления: 2014-10-22