Решение. 1. Область определения функции

1. Область определения функции .

2. Область значений функции .

3. Четность, нечетность функции.

функция не является четной,

функция не является нечетной.

4. Функция не является периодической.

5. Точки пересечения с осями координат.

С осью ОУ: , получили точку .

С осью ОХ: , получили точку .

6. Асимптоты графика:

а) вертикальная .

Исследуем поведение функции при приближении к вертикальной асимптоте, для этого вычислим односторонние пределы:

в) горизонтальная:

горизонтальной асимптоты нет;

с) наклонная :

- наклонная асимптота.

7.Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем критические точки, используя необходимое условие экстремума.

- критические точки, .

Разобьем область определения функции критическими точками на интервалы и найдем знак производной в каждом из них:

	+		+	не сущ.	_		+
	Возрастает		возрастает	не сущ.	Убывает	точка минимума	возрастает

8. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем точки, подозрительные на перегиб, используя необходимое условие точек перегиба.

- точка, подозрительная на перегиб, .

Разобьем область определения функции полученной точкой на интервалы и определим знак производной второго порядка в каждом интервале:

	_		+	не сущ.	+
	выпуклая	точка перегиба	вогнутая	не сущ.	Вогнутая

4. Строим график (рис. 2):

1) строим асимптоты и ;

2) отмечаем точку пересечения графика с осями координат , точку минимума и точку перегиба (0,0);

3) соединяем отмеченные точки в соответствии с промежутками возрастания , убывания , выпуклости , вогнутости и проведенными асимптотами.

Рис.2.

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Разбить число 12 на два слагаемых, произведение которых имело бы максимальное значение.

4. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функцию и построить ее график.

Вариант 2

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Какой из прямоугольников с периметром, равным 50 см, имеет наибольшую площадь?

4.Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба .

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 3

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Объем правильной четырехугольной призмы равен 8 кубических дециметров. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?

4. Исследовать функциюна выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 4

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Для какого числа разность между этим числом и его квадратом наибольшая?

4. Исследовать функциюна выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5.Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функцию и построить ее график.

Вариант 5

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность параллелепипеда была наибольшей?

4. Исследовать функциюна выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 6

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Сумма основания и высоты треугольника равна 10 см. Каковы должны быть размеры основания, чтобы площадь треугольника была наибольшая?

4. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти

точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 7

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Число 8 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшая.

4. Исследовать функциюна выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 8

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчивается правильным треугольником. Периметр окна равен 3 м. Каким должно быть основание прямоугольника, чтобы окно имело наибольшую площадь?

4. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 9

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

3. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольший?

4. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функциюи построить ее график.

Вариант 10

1. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции

.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

3. Разбить число 10 на два слагаемых так, чтобы их сумма квадратов была наименьшей.

4. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции .

6. Исследовать функцию и построить ее график.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Что называется промежутками монотонности?

2.Как с помощью производной первого порядка определить промежутки монотонности?

3. Найдите промежутки монотонности функции .

4. Какие точки называются точками минимума и максимума?

5. Сформулируйте необходимое условие экстремума.

6. Какие точки называются критическими?

7. Приведите примеры функций, для которых критические точки не являются точками экстремума.

8. Сформулируйте достаточное условие экстремума.

9. Найдите точки экстремума для функции

10. Дайте определения выпуклых и вогнутых кривых на интервале .

11. Как по знаку производной второго порядка определить промежутки выпуклости и вогнутости?

12. Что называется точкой перегиба кривой?

13. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба.

14. В чем заключается достаточное условие точки перегиба?

15. Что называется асимптотой графика функции?

16. Постройте график функции в окрестности точки , если .

17. Постройте график функции в окрестности точки , если и .

Рекомендуемая литература

1. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник. В 2 т. Т. 1 / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 512 с.

2. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Наука, 1989. - 736 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 кн. Кн. 1 / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл- Пресс, 2002. - 416 с.

Дата добавления: 2014-10-22