Геометрическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности

Задача 2. Стрелок делает один выстрел по мишени. Оценить вероятность того, что он попадет в цель.

Решение. В данном опыте возможны два исхода: либо стрелок попал в цель (событие A), либо он промахнулся (событие). События A и несовместны и образуют полную группу. Однако в общем случае не известно равновозможны они или нет. Поэтому в этом случае использовать классическое определение вероятности случайного события нельзя. Решить задачу можно, используя статистическое определение вероятности случайного события.

Определение 1.12. Относительной частотой события A называют отношение числа испытаний, в которых событие A появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события A может быть вычислена по формуле

,

где k – число появлений события A, l – общее число испытаний.

Замечание 1.2. Основное отличие относительной частоты события A от его классической вероятности заключается в том, что относительная частота всегда находится по итогам проведенных испытаний. Для вычисления же классической вероятности ставить опыт не нужно.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производить серии опытов, в каждой из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных сериях опытов относительная частота W(A) изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Вернемся к задаче 2 о вычислении вероятности события A (стрелок попадет в цель). Для ее решения необходимо провести несколько серий из достаточно большого числа выстрелов по мишени в одних и тех же условиях. Это позволит вычислить относительную частоту и оценить вероятность события A.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. Например, если W(A)»0,4, то в качестве вероятности события A можно принять и 0,4, и 0,39, и 0,41.

Замечание 1.3. Статистическое определение вероятности позволяет преодолеть второй недостаток классического определения вероятности.

Пусть на плоскости имеются фигуры G и g, причем g Ì G (рис. 1.1).

G g Рис. 1.1.

Y 12.40 12.40 T R S O M L K N 13.00 12.20 12.20 13.00 12.00 X Рис. 1.2.

На фигуру G наугад бросается точка. Это означает выполнение следующих предположений:

1) брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G;

2) вероятность попадания точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно фигуры G.

Определение 1.13. Вероятность попадания наудачу точки на фигуру g (событие A) равна отношению площадей фигур g и G, т.е.

.

(1.2)

Замечание 1.4. В случае, когда g и G – отрезки прямой, вероятность события A равна отношению длин этих отрезков. Если g и G – тела в трехмерном пространстве, то вероятность события A находят как отношение объемов этих тел. Поэтому в общем случае

,

где mes – метрика рассматриваемого пространства.

Замечание 1.5. Геометрическое определение вероятности применяется к испытаниям с бесконечным числом исходов.

Пример 1.13. Два лица договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 ч., причем каждый пришедший на встречу ждет другого в течение 20 мин., но не дольше, чем до 13.00, после чего уходит. Найти вероятность встречи этих лиц, если каждый из них приходит в случайный момент времени, не согласованный с моментом прихода другого.

Решение. Пусть событие A – встреча состоялась. Обозначим через x – время прихода первого лица на встречу, y - время прихода второго лица. Тогда множество всех возможных исходов опыта – множество всех пар (x, y), где x, y Î [12, 13]. А множество благоприятствующих исходов определяется неравенством

| x – y | £ 20 (мин).

Оба этих множества бесконечны, поэтому классическое определение для вычисления вероятности применить нельзя. Воспользуемся геометрическим определением. На рис. 1.2 изображены множества всех возможных исходов (квадрат OKMT) и благоприятствующих исходов (шестиугольник OSLMNR). Используя определение 1.13, получим

.

Сумма и произведение событий. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий

Определение 1.14. Суммой событий A и B называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначение: A + B.

Определение 1.15. Произведением событий A и B называют событие, состоящее в одновременном наступлении этих событий в одном и том же опыте. Обозначение: AB.

Пример 1.14. Из колоды в 36 карт вынута одна карта наугад. Введем обозначения: A – вынутая карта оказалась дамой, B – вынули карту пиковой масти. Найти вероятности событий A + B и AB.

Решение. Событие A + B произойдет, если вынутая карта будет пиковой масти или дамой. Значит, рассматриваемому событию благоприятствуют 13 исходов (любая из 9 карт пиковой масти, любая из 3 дам другой масти) из 36 возможных. Используя классическое определение вероятности случайного события, получим

.

Событие AB наступит, если вынутая карта будет пиковой масти и дамой. Следовательно, событию AB благоприятствует только один исход опыта (пиковая дама) из 36 возможных. С учетом определения 1.11 получим

.

Замечание 1.6. Определения суммы и произведения событий можно распространить на любое число событий.

При вычислении вероятности суммы и произведения событий удобно использовать следующие утверждения.

Теорема 1.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого именно, равна сумме вероятностей этих событий

P(A + B)=P(A)+P(B).

Следствие 1.1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

P(A ₁+ A ₂+…+ A_n)=P(A ₁)+P(A ₂)+…+P(A_n).

Следствие 1.2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий A ₁, A ₂,…, A_n, образующих полную группу, равна единице

P(A ₁)+P(A ₂)+…+P(A_n)=1.

Следствие 1.3. Вероятность противоположного события

.

Случайное событие было определено как событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений (кроме условий опыта) не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Определение 1.16. Условной вероятностью P _B (A) (или P(A | B)) называют вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B уже произошло.

Используя понятие условной вероятности, дадим определение независимости событий, отличное от приведенного раннее.

Определение 1.17. Событие A независимо от события B, если имеет место равенство

P B (A)= P(A),

(1.3)

т.е. если наступление события B не изменяет вероятности события A.

Можно показать, что свойство независимости событий является взаимным, т.е. если событие A независимо от события B, то и событие B независимо от события A

P A (B)= P(B).

(1.4)

В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения для них равенств (1.3) и (1.4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте.

Определение 1.18. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Определение 1.19. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если они попарно независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Теорема 1.2. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

В зависимости от выбора порядка следования событий теорема 1.2 может быть записана в виде

P(AB) = P(A)P _A (B)

или

P(AB) = P(B)P _B (A).

Следствие 1.4. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились

.

При этом порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример 1.15. В урне 6 белых и 3 черных шара. Из урны наудачу вынимают по одному шару до появления черного. Найти вероятность того, что придется проводить четвертое вынимание, если шары в урну обратно не возвращают.

Решение. В рассматриваемом опыте нужно проводить четвертое вынимание, если первые три шара окажутся белыми. Обозначим через A_i событие, состоящее в том, что при i -ом вынимании появится белый шар (i = 1, 2, 3). Задача заключается в отыскании вероятности события A ₁ A ₂ A ₃. Поскольку вынутые шары обратно не возвращают, события A ₁, A ₂ и A ₃ являются зависимыми (каждое предыдущее влияет на возможность появления следующего). Для вычисления вероятности воспользуемся следствием 1.4 и классическим определением вероятности случайного события, именно

= =.

Следствие 1.5. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей

P(AB)=P(A)P(B).

Следствие 1.6. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей

P(A ₁ A ₂… A_n)=P(A ₁)P(A ₂)…P(A_n).

Пример 1.16. Решить задачу из примера 1.15, считая, что после каждого вынимания шары возвращают обратно в урну.

Решение. Как и прежде (пример 1.15) нужно найти P(A ₁ A ₂ A ₃). Однако события A ₁, A ₂ и A ₃ являются независимыми в совокупности, т.к. состав урны при каждом вынимании одинаковый и, следовательно, результат отдельного испытания не влияет на другие. Поэтому для вычисления вероятности воспользуемся следствием 1.6 и определением 1.11 вероятности случайного события, а именно

P(A ₁ A ₂ A ₃)=P(A ₁)P(A ₂)P(A ₃)= =.

Теорема 1.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

P(A + B)=P(A)+P(B)-P(AB).

(1.5)

Замечание 1.7. При использовании формулы (1.5) надо иметь в виду, что события A и B могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Пример 1.17. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найти вероятность того, что

а) оба стрелка попадут в мишень (событие D);

б) только один из стрелков попадет в мишень (событие E);

в) хотя бы один из стрелков попадет в мишень (событие F).

Решение. Введем обозначения: A – первый стрелок попал в мишень, B – второй стрелок попал в мишень. По условию P(A) = 0,6 и P(B) = 0,7. Ответим на поставленные вопросы.

а) Событие D произойдет, если возникнет событие AB. Поскольку события A и B независимые, то с учетом следствия 1.5 получим

P(D) = P(AB) = P(A)P(B) = 0,6×0,7 = 0,42.

б) Событие E произойдет, если появится одно из событий A или B. Эти события несовместны, а события A () и B () независимые, поэтому по теореме 1.1, следствиям 1.3 и 1.5 будем иметь

P(E) = P(A + B) = P(A) + P(B) =

= P(A)P() + P()P(B) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46.

в) Событие F возникнет, если появится хотя бы одно из событий A или B. Эти события совместны. Следовательно, по теореме 1.3, имеем

P(F) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88.

Отметим, что вероятность события F можно было вычислить иначе. А именно

P(F) = P(A + B + AB) = P(A) + P(B) + P(AB) = 0,88

или

P(F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 – 0,4×0,3 = 0,88.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B ₁, B ₂,…, B_n, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Оценить вероятность появления события A до проведения опыта можно, используя следующее утверждение.

Теорема 1.4. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B ₁, B ₂,…, B_n, образующих полную группу, равна

.

(1.6)

Формула (1.6) носит название формулы полной вероятности.

Пример 1.18. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Найти вероятность того, что вызванный наудачу студент ответит на поставленный вопрос.

Решение. Введем следующие обозначения: A – событие, состоящее в том, что вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос, B ₁ - вызванный наудачу студент знает ответы на все вопросы, B ₂ - вызванный наудачу студент знает ответы на 25 вопросов, B ₃ - вызванный наудачу студент знает ответы на 20 вопросов и B ₄ - вызванный наудачу студент знает ответы на 15 вопросов. Заметим, что события B ₁, B ₂, B ₃ и B ₄ несовместны, образуют полную группу, и событие A может наступить при условии появления одного из этих событий. Следовательно, для вычисления вероятности события A можно использовать формулу полной вероятности (1.6):

.

По условию задачи известны вероятности гипотез

P(B ₁) =, P(B ₂) =, P(B ₃) =, P(B ₄) =

и условные вероятности (вероятности для студентов каждой из четырех групп ответить на поставленный вопрос)

= 1, =, =, =.

Таким образом,

P(A) = ×1 + × + × + × =.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A, причем какое из событий B_i (i =1, 2,…, n) произошло исследователю не известно. Оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, можно с помощью формул Байеса

, i =1, 2,…, n.

(1.7)

Здесь P(A) вычисляется по формуле полной вероятности (1.6).

Пример 1.19. На некоторой фабрике машина I производит 40% всей продукции, а машина II – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенной машиной I, оказывается браком, а у машины II – брак 4 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность, что она произведена на машине II?

Решение. Введем обозначения: A – событие, состоящее в том, что единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком, B_i - единица продукции, выбранная наугад, изготовлена машиной i (i = I, II). События B ₁ и B ₂ несовместны и образуют полную группу, причем событие A может возникнуть только в результате появления одного из этих событий. Известно, что событие A произошло (выбранная наудачу единица продукции оказалась браком). Какое именно из событий B ₁ или B ₂ при этом имело место неизвестно, т.к. неизвестно на какой из двух машин изготовлено выбранное изделие. Оценку вероятности гипотезы B ₂ можно провести по формуле Байеса (1.7):

,

где вероятность случайного выбора бракованного изделия вычисляется по формуле полной вероятности (1.6):

.

Учитывая, что по условию задачи

P(B ₁) = 0,40, P(B ₂) = 0,60, = 0,009, = 0,008,

получим

=.

Последовательность независимых испытаний

В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из испытаний некоторое событие A может появиться с одной и той же вероятностью и эта вероятность остается одной и той же, не зависимо от результатов предшествующих или последующих испытаний. Этот тип испытаний был впервые исследован Якобом Бернулли, и поэтому получил наименование схемы Бернулли.

Схема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний в сходных условиях (или один и тот же опыт проводится n раз), в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. При этом вероятность появления события A в каждом испытании одна и та же и равна p. Следовательно, вероятность ненаступления события A в каждом отдельном испытании также постоянна и равна q = 1 - p.

Вероятность того, что в этих условиях событие A осуществится ровно k раз (и, следовательно, не осуществится n – k раз) можно найти по формуле Бернулли

.

(1.8)

При этом порядок появления события A в указанных n испытаниях может быть произвольным.

Пример 1.20. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному; в) не менее трем; г) более одного и менее четырех.

Решение. В этом примере один и тот же опыт (выбор обуви) проводится 5 раз, причем вероятность события A – выбрана обувь 41-го размера – постоянна и равна 0,2. Кроме того, результат каждого отдельного испытания не влияет на другие опыты, т.к. покупатели выбирают обувь независимо друг от друга. Следовательно, имеем последовательность испытаний, проводимых по схеме Бернулли, в которой n = 5, p = 0,2, q = 0,8. Для ответа на поставленные вопросы нужно вычислить вероятности P₅(k). Воспользуемся формулой (1.8).

а) P₅(1) = = 0,4096;

б) P₅(k ³ 1) = 1 - P₅(k < 1) = 1 - P₅(0) = 1- = 0,67232;

в) P₅(k ³ 3) = P₅(3) + P₅(4) + P₅(5) = + + = =0,5792;

г) P₅(1 < k < 4) = P₅(2) + P₅(3) = + = 0,256.

Использование формулы Бернулли (1.32) при больших значениях п и т вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Так, при п = 200, т = 116, р = 0,72 формула Бернулли принимает вид Р₂₀₀(116) = (0,72)¹¹⁶ (0,28)⁸⁴. Подсчитать результат практически невозможно. Вычисление Р_п(т) вызывает затруднения также при малых значениях р (q). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления Р_п (т), обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности Р_п (т) при п.

Теорема 1.5. Если число испытаний неограничено увеличивается (п) и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограничено уменьшается (p), но так, что их произведение пр является постоянной величиной (пр = а = const), то вероятность Р_п(т) удовлетворяет предельному равенству

= (1.9)

Выражение (1.9) называется асимптотической формулой Пуассона.

Из предельного равенства (1.9) при больших п и малых р вытекает приближенная формула Пуассона

Формулу (1.10) применяют, когда вероятность р = const успеха крайне мала, т. е. сам по себе успех (появление события А) является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний п велико, среднее число успехов пр = а незначительно. Приближенную формулу (1.10) обычно используют, когда п 50, а пр 10.

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерской, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов и т.п.).

Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий на участке времени длины зависит только от его длины (т. е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность потока, есть величина постоянная: (t) =.

Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени t пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен).

Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления к событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет).

Можно доказать, что вероятность появления т событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. при этом приходится выполнять действия над громадными числами. Упростить вычисления можно, пользуясь таблицами факториалов или применяя технические средства (калькулятор, ЭВМ). Но в этом случае в процессе вычислений накапливаются погрешности. Поэтому окончательный результат может значительно отличаться от истинного. Возникает необходимость применения приближенных (асимптотических) формул.

Замечание 1.8. Функцию g (x) называют асимптотическим приближением функции f (x), если.

Теорема 1.6. (Локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

.

(1.11)

Используя функцию Гаусса

,

асимптотическую формулу (1.11) можно записать в виде

,

(1.12)

где.

График функции имеет вид, изображённый на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Следует учитывать, что:

а) функция φ(x) чётная, т. е. φ(-x) = φ(x);

б) при х 4 можно считать, что φ(x) = 0.

Для функции j (x) составлены таблицы значений при x ³ 0. При x < 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j (x) чётная.

Теорема 1.7. (Интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P _n (k ₁, k ₂) того, что событие A появится в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, от k ₁ до k ₂ раз, приближенно равна

,

(1.13)

где

,.

(1.14)

Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Поэтому при решении задач, требующих применения формулы (1.13), пользуются таблицами значений функции Лапласа

.

График этой функции выглядит так, как показано на рис. 1. 4.

Рис. 1.4

Функция F (x) нечетная, т.е. F (– x) = – F (x). Поэтому таблицы значений этой функции составлены только для x ³ 0. При x > 5 считают F (x)» 0,5.

Используя свойства определенного интеграла, (1.13) можно записать в виде

.

(1.15)

Здесь z ₁ и z ₂ определены в (1.14).

Пример 1.21. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) от 425 до 450 семян.

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, имеется последовательность независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли (опыт – посадка одного семени, событие A – семя взошло): n = 500, p = 0,85, q = 0,15. Поскольку число испытаний велико (n > 100), воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей асимптотическими формулами (1.10) и (1.13).

а)» 0,04996;

б)»F(3,13)–F(0)»0,49.

Если число испытаний n, проводимых по схеме Бернулли, велико, а вероятность p появления события A в каждом из них мала (p £ 0,1), то асимптотическая формула Лапласа непригодна. В этом случае используют асимптотическую формулу Пуассона

,

(1.16)

где l = np.

Пример 1.22. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее 2; в) хотя бы одну.

Решение. В данной задаче имеется последовательность независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли (опыт – проверка одной бутылки на целостность, событие A – бутылка разбилась): n = 1000, p = 0,003, q = 0,997. Т.к. число испытаний велико (n > 100), а вероятность p мала (p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l =3.

а) = 4,5 e ^-3» 0,224;

б) P₁₀₀₀(k < 2) = P₁₀₀₀(0) + P₁₀₀₀(1)» + = 4 e ^-3» 0,199;

в) P₁₀₀₀(k ³ 1) = 1 - P₁₀₀₀(k < 1) = 1 - P₁₀₀₀(0)» 1 - = 1 - e ^-3» 0,95.

Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа являются следствиями более общей центральной предельной теоремы. Многие непрерывные случайные величины имеют нормальное распределение. Это обстоятельство во многом определяется тем, что суммирование большого числа случайных величин с самыми разными законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы.

Теорема. Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Центральная предельная теорема имеет огромное значение для практики.

Допустим, определяется некоторый экономический показатель, например, потребление электроэнергии в городе за год. Величина суммарного потребления складывается из потребления энергии отдельными потребителями, которая имеет случайные значения с разными распределениями. Теорема утверждает, что в этом случае, какое бы распределение не имели отдельные составляющие, распределение результирующего потребления будет близко к нормальному.

Дата добавления: 2014-10-22