Геометрическое распределение

Пуассона

Биномиальный

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться. Вероятность наступления события A в каждом отдельном испытании постоянна и равна p. Случайная величина X – число появлений события A в этих испытаниях. Найдем закон распределения вероятностей случайной величины X.

Событие A в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо появиться в каждом испытании. Поэтому случайная величина X имеет следующие возможные значения: x ₀ = 0, x ₁ = 1, x ₂ = 2,…, x_n = n. Вероятности возможных значений

P(X = x_k) = P(X = k) = P _n (k) (k = 0, 1, 2,…, n)

определяются по формуле Бернулли (9). Таким образом, формула Бернулли является аналитическим выражением искомого закона распределения, а сам закон распределения вероятностей случайной величины X называют биномиальным.

Ряд распределения для биномиального закона имеет вид

X			…	k	…	n -1	n
p	q^n	npq^n ^-1	…		…	np^n ^-1 q	p^n

Здесь, как и прежде, q = 1 – p.

Проверим выполнение условия 2.1. Найдем сумму вероятностей возможных значений случайной величины X

qⁿ + npq^{n -1} + …+ +…+ np^{n -1} q + pⁿ =

= = (p + q) ⁿ = 1.

Отличается от биномиального закона тем, что число проводимых независимых испытаний n велико, вероятность p появления события A в каждом отдельном испытании мала. Поэтому вероятности возможных значений случайной величины X определяют по формуле Пуассона

P(X = k) = (k = 0, 1, 2,…, n),

где l = np. Следовательно, формула Пуассона является аналитическим выражением рассматриваемого закона распределения, а сам закон распределения вероятностей случайной величины X называют законом Пуассона.

Ряд распределения для закона Пуассона имеет вид

X			…	k	…	n -1	n
p	e^-^l	le^-^l	…		…

Проверим выполнение условия 2.1. Найдем сумму вероятностей возможных значений случайной величины X, учитывая, что n велико.

=

= = e^-l e^l = 1.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна p (0 < p < 1). Опыт заканчивается, как только событие A появится. Дискретная случайная величина X – число испытаний, которые нужно провести до первого появления события A. Найдем закон распределения вероятностей случайной величины X.

Случайная величина X имеет счетное множество значений: x ₁ = 1, x ₂ = 2,…, x_n = n,… Пусть в первых k -1 испытаниях событие A не наступило, а в k -ом испытании появилось. Вероятность этого события

P(X = k)= = = = q^{k -1} p,

где q = 1 - p.

Полагая в равенстве

P(X = k) = q^k ^-1 p

(2.2)

значения k = 1, 2,…, n,…, получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0 < q < 1). Формула (2.2) является аналитическим выражением закона распределения случайной величины X, а само распределение носит название геометрического.

Ряд распределения для геометрического закона имеет вид

X				…	n	...
p	p	qp	q ^2 p	…	q^np	...

Проверим выполнение условия 2.1. Найдем сумму вероятностей возможных значений случайной величины X, как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

p + qp + q ² p + … + qⁿp + … = = = 1.

Дата добавления: 2014-10-22