КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Деление отрезка в заданном отношении
Способы задания векторов
Вектор может быть задан следующими способами: 1. Координатами вектора 2. Координатами начальной z и конечной точек. 3. Модулем вектора и углами, M которые он образует с координатными осями. При этом значения называются направляющими косинусами. O y Между этими способами задания a z векторов существует определённая связь. a x Например, переход от (2) к (1) xa y осуществляется следующим образом: так как, то z A . Переход от (3) к (1) и наоборот осуществляется по формулам: B
x O y
Рассмотрим отрезок АВ, где точки и заданы. Требуется найти точку такую, что отношение z А Построим векторы: М Из условия коллинеарности векторов и имеем В Полученное равенство представим в координатной форме х О у или окончательно (1) Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин Найти его центр тяжести. z В Известно, что центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан и, если точка К - середина стороны ВС, то по А М К свойству медиан у Определим вначале координаты х С точки К: далее по формулам (1) получим координаты точки М:
Тема 2: Скалярное произведение
2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается (2) Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме (3) откуда получим
Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если - постоянная сила, а - вектор перемещения, то - работа силы на перемещении
Из определения скалярного произведения следуют его свойства: 1. - скалярное произведение коммутативно. 2., если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором. 3. Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 5 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство: 4. Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.
2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы :. Аналогично получаем: Тогда, если то (4) Получено: скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Направляющие косинусы
По формулам (2) и (4) получаем
откуда (5) Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует (6) Аналогично получим (7) Если в формуле (6) положить, то найдем . Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов ;. (8) Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора. Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство
Пример 2. Даны два вектора Найти их скаляр-ное произведение и угол между ними. По формулам (5) и (7) получаем
Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол с вектором Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений Из второго уравнения системы получаем Тогдареньонний из первого уравнения имеем. Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению
Из этого уравнения и. Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора, удовлет-воряющих условию задачи.
Лекция № 7. Тема 3: Векторное произведение
3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение 1. Векторным произведением двух векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям: 1) 2) вектор перпендикулярен векторам и. 3) вектора образуют правую тройку, т.е. из конца третьего вектора кратчайший поворот от вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.
а) правая б) левая
Обозначается векторное произведение: или Из определения векторного произведения следуют его свойства и геометрический смысл:
Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |