Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Деление отрезка в заданном отношении




Способы задания векторов

 

Вектор может быть задан следующими способами:

1. Координатами вектора

2. Координатами начальной z

и конечной точек.

3. Модулем вектора и углами, M

которые он образует с координатными осями.

При этом значения

называются направляющими косинусами. O y

Между этими способами задания a z

векторов существует определённая связь. a x

Например, переход от (2) к (1) xa y

осуществляется следующим образом:

так как, то z A

.

Переход от (3) к (1) и наоборот

осуществляется по формулам: B

 

 

x O y

 

 

Рассмотрим отрезок АВ, где точки и заданы. Требуется найти точку такую, что отношение

z А

Построим векторы: М

Из условия коллинеарности векторов

и имеем В

Полученное равенство представим в

координатной форме х О у

или окончательно

(1)

Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам

Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин Найти его центр тяжести. z В

Известно, что центр тяжести треугольника

лежит на пересечении его медиан и, если

точка К - середина стороны ВС, то по А М К

свойству медиан у

Определим вначале координаты х С

точки К:

далее по формулам (1) получим координаты точки М:

 

 

Тема 2: Скалярное произведение

 

2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

 

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается

(2)

Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме

(3)

откуда получим

 

Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если - постоянная сила, а - вектор перемещения, то - работа силы на перемещении

Из определения скалярного произведения следуют его свойства:

1. - скалярное произведение коммутативно.

2., если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.

3.

Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 5 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:

4.

Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.

 

2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

 

Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы :.

Аналогично получаем:

Тогда, если то

(4)

Получено: скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

 

2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

Направляющие косинусы

 

По формулам (2) и (4) получаем

 

откуда

(5)

Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует

(6)

Аналогично получим

(7)

Если в формуле (6) положить, то найдем

.

Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов

;. (8)

Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.

Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство

 

Пример 2. Даны два вектора Найти их скаляр-ное произведение и угол между ними.

По формулам (5) и (7) получаем

 

 

Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол с вектором

Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений

Из второго уравнения системы получаем Тогдареньонний из первого уравнения имеем. Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению

Из этого уравнения и. Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора, удовлет-воряющих условию задачи.

 

Лекция № 7. Тема 3: Векторное произведение

 

3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства

 

Определение 1. Векторным произведением двух векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1)

2) вектор перпендикулярен векторам и.

3) вектора образуют правую тройку, т.е. из конца третьего вектора кратчайший поворот от вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки.

В противном случае тройка векторов называется левой.

 

 

 

а) правая б) левая

 

 

 

Обозначается векторное произведение: или

Из определения векторного произведения следуют его свойства и геометрический смысл:

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.