Механический смысл векторного произведения

Модуль векторного произведения численно равен площади паралле-лограмма, построенного на этих векторах.

Основные свойства векторного произведения:

1. - векторное произведение антикоммутативно.

2., где, если и коллинеарные или по крайней мере один из сомножителей является нулевым вектором.

3.

4.

Замечание 1. Тройка базисных векторов является правой.

3. 2 Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Из определения векторного произведения следует, что:

(1)

Тогда с учетом формул (1) и свойств векторного произведения получаем

(2)

Пример 1. Заданы векторы и Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Исходя из геометрического смысла векторного произведения, получим

Тогда

Замечание 2. Площадь треугольника, построенного на векторах и, будет равна.

Если - радиус-вектор точки, к которой при-ложена сила, то момент этой силы относительно точки

вычисляется по формуле

(3)

При этом - моменты силы относительно координатных осей. z

Рассмотрим задачу из механики: 3 M

В точке приложена сила

. Требуется найти моменты

этой силы относительно координатных осей. 2 y

По формуле (3) получаем х

Полезно отметить тот факт, что значения этих моментов совпадают со школьным определением – “Момент равен произведению силы на плечо“. См. рисунок!

Тема 4: Смешанное произведение векторов

4. 1. Смешанное произведение векторов и его основные свойства

Определение 2. Векторно-скалярное произведение называется

смешанным и обозначается

Рассмотрим его геометрический смысл.

Построим параллелепипед на векторах

Его объем равен в

его основании лежит параллелограмм с h

площадью

Его высота поэтому имеем

(4)

Знак в выражении совпадает со знаком и поэтому смешанное произведение положительно, если вектора образуют правую тройку.

Таким образом, приходим к следующему правилу:

Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Оно поло-жительно, если тройка векторов правая и отрицательно, если левая.

Рассмотрим основные свойства смешанного произведения:

1. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.

Верно и обратное, т.е., если сомножители компланарны, то смешанное произведение равно нулю.

Равенство возможно в следую-щих случаях:

а) хотя бы один из векторов является нулевым, то векторы компланарны;

б) и коллинеарны - компланарны;

в) - компланарны.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

2., т.е. при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение знак не меняется. Это следует из того, что в данном случае ориентация тройки этих векторов сохраняется. В остальных случаях перестановки сомножителей ориентация векторов меняется и тогда

3. где А и В кон-станты. Это свойство следует из свойств векторного и скалярного произве-дений.

Дата добавления: 2014-10-22