Элементарные преобразования и определение ранга матрицы

Ранг матрицы

Литература: 1.[1Д]‚§23;

2.[2Д]‚§3–4;

3.[3Д]‚гл.У‚§3‚

Определитель к - того порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных к строк и к столбцов матрицы А, называется минором к-го порядка, порожденным данной матрицей.

Например, для матрицы А

минор второго порядка можно получить, выбрав 1 и 3 строки, а также 1-й и 4-й столбцы:. Очевидно, что минорами, порожденными этой матрицей, являются и другие определители 2-го порядка:

и т.д.

Данная матрица имеет минорами и определители 3-го порядка:

Рангом матрицы А (обозначается RgА или rang A) называется наибольший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.

В рассматриваемой матрице А наивысший порядок ее миноров равен трем. Вычислим один из них.

Так как этот минор отличен 0, то ранг матрицы RgА = 3.

Обычно вычислять все миноры, порождаемые данной матрицей, громоздко. Поэтому для определения ранга матрицы можно использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду, рассматриваемый ниже.

Литература: 1.[1Д]‚§23,

2.[2Д]‚§4;

3.[3Д]‚гл.‚§3.

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы А называются следующие действия над ними:

1) умножение какой-либо строки на число,

2) перестановка двух строк,

3) прибавление к элементам одной строки соответственных элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Элементарными преобразования второго рода называются аналогичные действия со столбцами.

Элементарные преобразования первого и второго рода не меняют ранг матрицы. Получающиеся после их применения матрицы называются эквивалентными. Итак, эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если в ее первой строке имеется хотя бы один элемент отличный от 0, а в каждой последующей строке первый отличный от 0 элемент стоит правее первого отличного от 0 элемента предыдущей строки. Например,

.

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Ранг данной матрицы А равен 5.

Для определения ранга матрицы нужно, применяя элементарные преобразования, привести ее к ступенчатому виду

Пример 13. Найти ранг матрицы

.

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду, для чего, вначале умножив первую строку на -2,1 и -6, сложим ее соответственно со 2,3 и 4 строками

~

Итак, в первой строке первый отличный от 0 элемент 1, а под ним в остальных строках стоят нули. Для того, чтобы первые отличные от нуля элементы третьей и четвертой строк стояли правее первого отличного от нуля элемента второй строки (он равен -3) умножим вторую строку на -1 и сложим ее с четвертой строкой. Получим эквивалентную матрицу вида

Для приведения ее к ступенчатому виду нужно иметь нуль в четвертой строке на месте числа -4. Поэтому умножим элементы третьей строки на 2 и сложим с элементами четвертой строки. Получим ступенчатую матрицу

Ранг этой матрицы равен 3. Значит ранг исходной матрицы В также равен 3(RgВ=3).

Пример 14. Найти ранг матрицы

.

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки. Получим

~ ~.

Итак, Rg В=2.

Дата добавления: 2014-10-22