Общий случай линейной алгебраической системы уравнений. Условие совместности

Литература: 1.[1Д]‚§23;

2.[2Д]‚§4;

3.[3Д]‚гл·У‚§4·

Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Матрица А, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы

.

Расширенная матрица В системы - это основная матрица с добавленным к ней столбцом свободных членов уравнений системы:

.

Условие совместности любой линейной алгебраической системы определяется теоремой Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная алгебраическая система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы. При этом возможны два случая:

а) ранги основной и расширенной матриц равны числу неизвестных системы RgА= =RgB = ґ = n; тогда система имеет единственное решение,

б) RgA=RgB=r<n; тогда система имеет бесконечное множество решений. При этом r неизвестных, коэффициенты при которых образуют базовый минор матриц А и В,

определяющий ранг этих матриц, называются основными. Остальные n - r неизвестные называются свободными. Им можно придавать произвольные значения, в зависимости от которых принимают значения основные переменные.

Пример 15. Установить совместность системы

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы. Для удобства запишем их в виде

Здесь до вертикальной черты имеем основную матрицу, а вся матрица - расширенная. Для определения ранга матриц приведем их к ступенчатому виду.

~ ~ ~

У основной матрицы, приведенной к ступенчатому виду, три нулевых строки (RgА = 3), у расширенной - четыре (RgВ = 4). Так как RgА RgВ система не совместна.

Пример 16. Исследовать на совместность сиcтему

Если система совместна, установить основные и свободные переменные и найти решение.

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, вычислим ранг, приведя их к ступенчатому виду

~ ~

Отсюда RgА = RgВ =2 (так как у условной матрицы А и расширенной В по две нулевых строки). Следовательно, число основных неизвестных равно двум. В качестве таковых можно взять и, так как коэффициенты при них в ступенчатой матрице образуют минор, отличный от нуля

и, следовательно, определяют ранг основной и расширенной матриц. Тогда переменные и свободные, Им можно придавать произвольные значения. Например, =, =. Решение системы найдем пользуясь ступенчатой расширенной матрицей. Ей соответствует система вида

Оставим слева основные переменные, а свободные перенесем вправо, заменив их значениями и.

Из последнего уравнения этой системы

Подставим найденное значение в первое уравнение, получим

Ответ. Решение системы имеет вид

,

где и - произвольные числа.

Дата добавления: 2014-10-22