Базис. Координаты векторов в прямоугольной системе координат

Литература: 1. [1Д]‚§§3–5;

2. [2Д]‚§5;

3. [3Д]‚гл.|‚§§1–2.

Векторы ₁, ₂,, ₃,..., _n называются линейно - зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например,

= _{1 1} + _{2 2} + _{3 3} +

В противном случае т.е. ни один из векторов ₁, ₂,, ₃,..., _n не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы называются линейно - независимыми.

Пара векторов на плоскости является линейно-зависимой тогда, когда эти векторы коллинеарные (это необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов на плоскости).

Тройка векторов на плоскости является линейно - зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, т.е. лежат в одной или в параллельных плоскостях.

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно - независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно - независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

ТЕОРЕМА. Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Например,

Здесь - базисные векторы. Коэффициенты ₁, ₂, ₃ разложения вектора по данным базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

В трехмерном пространстве широко применяется прямоугольная система координат XYZ с базисными векторами Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис поэтому называется ортонормированным.

Любой вектор в прямоугольной системе координат может быть единственным образом представлен в виде

.

Особенность прямоугольной системы координат в том, что коэффициенты этого разложения (т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси x, y и z.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле

.

Направление вектора задается углами, образованными ими с координатными осями x, y и z. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам

Направляющие косинусы связаны соотношением

Если векторы и коллинеарны и однонаправлены, то равны их направляющие косинусы

Введем обозначение. Тогда соотношения запишутся в виде равенств,

которые называются условиями коллинеарности векторов и.

Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед поставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком, а координаты точек и, то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

.

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются: + =. При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число.

Пример. На оси Оx найти точку, равноудаленную от точек А (0, -2, 3) и В (-3, 2, 4).

Решение. Пусть М - искомая точка. Для нее по условию выполняется равенство. Так как эта точка лежит на оси ОХ, то ее координаты (x, 0, 0), а поэтому имеем

После возведения в квадрат получаем.

Или 6, а точка имеет координаты.

Пример. Вектор составляет с осями координат острые углы,причем.Найти его координаты, если | | =3.

Решение. Прежде всего найдем угол:.

Откуда с учетом того, что угол острый

Искомые координаты вектора

Дата добавления: 2014-10-22