Смешанное произведение трех векторов

Вычисление векторного произведения в координатной форме

Обозначение

Векторное произведение

Литература: 1.[1Д]‚§7;

2. [2Д]‚§12;

3. [3Д]‚гл.I‚§3.

Векторным произведением вектора на вектор называется такой

вектор, который удовлетворяет следующим условиям:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними

т.е. модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах,

2) вектор перпендикулярен векторам и,

3) вектор направлен так, что с его конца кратчайший поворот от к виден происходящим против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение некоммутативно (неперестановочно). При этом

2. Для векторного произведения выполняется дистрибутивный (распределительный) закон

3. где - любое действительное число.

4. Если векторы и неколлинеарны, то модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах и

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов (но порядок следования множителей ввиду некоммутативности векторного произведения меняться не должен). Например,

Если то вектор, равный их векторному произведению, можно находить по формуле

Пример. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого находятся в точках А (4,3,2), В (2,3,4) и С (1,1,1).

Решение. Данный параллелограмм построен на векторах

Если площадь равна модулю векторного произведения. Находим векторное произведение

Площадь параллелограмма

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, если, а угол между векторами и равен.

Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и, равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах. Поэтому площадь треугольника

Найдем векторное произведение

С учетом того, что векторный квадрат равен 0 (так как в этом случае =0 и), имеем.

Учтем также, что. Тогда

Литература: 1. [1Д]‚§8;

2. [2Д]‚§13;

3. [3Д]‚гл.І‚§3.

Смешанным произведением трех векторов,, называется число, равное векторному произведению векторов и скалярно умноженному на вектор:. Обозначается.

Свойства:

1) смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного т скалярного произведения, т.е.

2) смешанное произведение не изменится, если переставить перемноженные векторы в круговом порядке

3) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменит только знак

4) смешанное произведение компланарных векторов равно 0,

5) модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах:

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах,, определяется по формуле,

6) если векторы,, заданы в координатной форме, то их смешанное произведение вычисляется при помощи определителя

Пример. Найти объем пирамиды, имеющей вершины в точках А(5,-5,6), В(4,5,4),С (4,3,3), Д (2,2,2).

Решение. С ребрами пирамиды совпадают векторы.

Найдем эти векторы

Так как, то

Пример. Доказать, что точки А (1,0,7), В (-1,-1,2), С (2,-2,2) и Д(0,1,9) лежат и одной плоскости.

Решение. Если точки А. В, С и Д лежат в одной плоскости, то и векторы компланарны. Найдем эти векторы:

Проверяем условие компланарности трех векторов:

Так как смешанное произведение трех векторов равно 0, то они компланарны. Следовательно, точки А,В,С, и Д лежат в одной плоскости.

Дата добавления: 2014-10-22