III. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин

Опр.: Нормальному закону распределения (или закону Гаусса) с параметрами подчинена непрерывная случайная величина плотность вероятности которой задается формулой . Краткое обозначение

Функция распределения: где – известная функция Лапласа

Основные числовые характеристики:

Вероятность попадания значений случайной величины в промежуток от до равна

В частности, если интервал симметричен относительно математического ожидания, то

Замечание 1: Кривая нормального закона распределения (гауссова кривая) симметрична относительно прямой .

Замечание 2: В точке гауссова кривая имеет максимум, причем значение функции в точке максимума

Замечание 3: – точки перегиба гауссовой кривой.

Замечание 4: Значения непрерывных случайных величин с вероятностью, близкой к единице, заключены в интервале . На этом факте основано так называемое правило «трех сигм»: значения нормально распределенной с параметрами непрерывной случайной величины в результате опыта практически достоверно попадают в интервал

Задача 7.8: Рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная непрерывная случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией . Найти плотность вероятности, функцию распределения и числовые характеристики роста мужчин этой группы. Определить долю костюмов четвертого роста (176–182 см) и третьего (170–176 см).

Решение:

Для построения кривой распределения учтем правило «трех сигм». Тогда

Мода и медиана

Максимум

Рост не может принимать слишком малые значения, тем более, отрицательные, поэтому за пределами промежутка значения плотности вероятности можно считать нулевыми.

Для вычисления вероятности заметим, что интервал симметричен относительно математического ожидания, поэтому

Ответ: и

Вопросы для самоконтроля:

1. Охарактеризуйте условия применения биномиального закона распределения дискретной случайной величины и закона Пуассона. Дайте расшифровку всем обозначениям, входящим в аналитическую форму записи этих законов.

2. Почему закон Пуассона распределения дискретной случайной величины называют законом редких явлений?

3. Охарактеризуйте условия применения геометрического и гипергеометрического законов распределения дискретной случайной величины. Дайте расшифровку всем обозначениям, входящим в аналитическую форму записи этих законов.

4. Сформулируйте правило «трёх сигм».

5. Сформулируйте определения основных законов распределения непрерывной случайной величины и укажите основные числовые характеристики этих законов.

Дата добавления: 2014-10-23