Элементы комбинаторики

Статистические определения вероятности.

Вероятность случайного события.

3.1. Классическое определение вероятности события.

Вероятностью события называется числовая характеристика степени возможности появления события в испытании, которое можно повторять неограниченное число раз.

Если количество всех исходов испытания конечно и все исходы между собой равновозможны, то вероятность события А в этом испытании вычисляется по формуле

, (3.1)

где - число всех исходов испытания, - число благоприятных исходов, т.е. тех исходов, в которых появляется событие А.

Запишем эту формулу по-другому

(3.2)

Пример 3.1. Колода 36 карт. А - событие, состоящее в том, что наудачу вытащенная карта окажется бубновой мастью.

По условию,,, тогда

.

Основные свойства вероятности события:

1º. Пусть B - достоверное событие, т.е., значит

.

2º. Пусть С - невозможное событие, т.е. значит

.

3º. Пусть А - случайное событие, т.е., значит

.

4º..

Вывод:

3.2. Геометрическое определение вероятности события.

Пусть область часть области, т.е.. Событие А - точка, наудачу брошенная в D, попадает и в d. Если вероятность попадания точки в d не зависит от ее места положения в D, то

.

Частные случаи:

1) Одномерный случай.

2) Двухмерный или плоский случай.

3) Трехмерный случай.

,

где - относительная частота события.

,

- число испытаний, - число испытаний, в которых событие произошло.

Если N - велико, то вероятность приблизительно берется за частоту, т.е.

.

Элементарная (но необязательно простая) часть теории вероятностей опирается на комбинаторику. Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Приведем некоторые сведения.

Пусть имеется конечное число различных объектов произвольной природы, которые назовем элементами. Из них по определенному правилу можно образовать некоторые группы.

Перестановками называются группы, состоящие из элементов и отличающиеся друг от друга только порядком их следования.

Число возможных перестановок из элементов вычисляется по формуле:

. (4.1)

Пример 4.1. Даны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных пятизначных чисел можно их них составить?

Решение. Применяем формулу (4.1).!=120.

Размещениями по m элементов из n называются группы, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга порядком их следования и составом.

Число возможных размещений вычисляется по формуле:

, (4.2)

Пример 4.2. Даны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно их них составить?

Решение. Применяем формулу (4.2).

Сочетаниями по m элементов из n называются группы, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга только составом.

Число возможных сочетаний вычисляется по формуле:

. (4.3)

Некоторые свойства сочетаний:

1º..

2º..

Пример 4.3. В колоде 36 карт, сдаем по 6 (играем в «дурака»). Сколько различных наборов карт может быть?

Решение. Так как в этой игре порядок прихода карт при раздаче не важен, применяем формулу (4.3).

.

§5. Задача о выборке.

Рассмотрим задачу о выборке. В партии из N изделий имеется M бракованных. Из партии наугад выбирается n изделий. Определить вероятность того, что среди них имеется ровно m бракованных.

Решение. Пусть событие А состоит в появлении m бракованных изделий среди n отобранных. Число способов составить такую группу равно. Но каждая из этих групп должна быть дополнена группой стандартных изделий, количество которых в партии равно N-M. Число таких групп равно числу сочетаний. Следовательно, количество всех случаев, благоприятных событию А равно. Воспользуемся формулой (3.2).

. (5.1)

Рассматриваемая модель можно считать универсальной: существует большое количество практических задач, в решении которых используется формула (5.1).

Рассмотрим несколько примеров на применение этой схемы.

Пример 5.1. Вернемся к игре в «дурака». Найдем вероятности следующих событий:

1) – получить при раздаче карт 4 туза и два короля;

2) – получить при раздаче карт туз козырной, одну даму, две десятки и два короля;

3) – получить при раздаче карт два короля.

Решение. При решении используем формулу (5.1) и результаты примера 4.3, где мы считали количество вариантов наборов карт при раздаче.

1).

При решении учитывали, что в колоде 4 туза и 4 короля, и что 0!=1.

2).

Здесь учитывали, что в колоде один козырной туз (поэтому).

3) Событие лучше переформулировать, чтобы было легче решать (нам частенько придется так делать), так как удобнее, когда все объекты выборки описаны. В данном случае опишем все 6 карт, т.е., событие – получить при раздаче два короля и четыре не короля (любые 4 карты, не являющимися королями). Таких в колоде 32.

.

Дата добавления: 2014-10-23