Прохождение случайного сигнала через линейную систему

Случайные процессы

Методы описания в случайных процессах. Для того чтобы наиболее точно исследовать САУ необходимо располагать как можно более достоверными данными о приложенных системах воздействия. Предельно точное описание этих воздействий является задание их в виде детерминированных функций времени. Однако этого не всегда удаётся достичь либо в следствии недостатка информации, либо в связи с природой этих воздействий. В этом случае воздействие на систему рассматривается как случайная функция времени и в этом случае их описывают статически. Шумы в усилителях так же носят случайный характер. При наличии случайных входных воздействий выходная величина так же будет случайной функцией времени. Случайными функциями описывается как полезные воздействия так и помехи. В ряде систем для изучения отдельных звеньев системы применяется специальный ввод в систему случайных воздействий. В этих случаях ставится вопрос о синтезе сигналов, которые должны обладать свойствами случайных функций, но при этом сами сигналы могут быть детерминированы. Такие сигналы называют псевдослучайными. Методы описания случайных процессов можно разделить на две группы:

1. Методы усреднения по множеству.

2. Методы усреднения по времени (В результате усреднения по времени получаются корреляционные функции и спектральные плотности)

Рассмотрим применение псевдослучайных сигналов:

1. Независящая от времени случайная величина х = а

2. Синусоидальный сигнал со случайной фазой х = х_мsin(w₀t + a)

3. Одиночный импульс заданной продолжительности в случайный момент времени х = а[1.(t-t₀)-1.(t-T₀-t₀)]

4. Идеальный импульс, действующий в случайный момент времени х = d(t-t₀)

5. Двоичный белый шум.

6. Псевдослучайный двоичный белый шум

При наличии двух и более случайных сигналов необходимо знать связь между этими сигналами. Эта взаимосвязь может быть выражена либо совместной плотностью распределения, либо взаимной спектральной плотностью Sxy. Если взаимная корреляционная функция Rxy двух случайных сигналов равна 0, то сигналы называют не корреляционными. В противном случае – корреляционными.

Стационарное случайное воздействие f(t) вызывает соответственно стационарное изменение выходной величины y(t). В общем случае случайное воздействие состоит из среднего значения и центрированной случайной части: f(t) = m_f(t) + f ⁰(t) y(t) = m_y(t) + y ⁰(t)

m_y(t) – среднее значение y ⁰(t) – центрированная случайная часть.

Для линейных систем на основании принципа суперпозиции каждая из этих систем может быть найдена раздельно. Среднее значение m_f(t) и m_y(t) являются не случайными значениями и они связаны между собой через передаточную функцию системы. m_y(t) = Ф_f(0)* m_f(t)

Для стационарного случайного процесса m_f(t) и m_y(t) представляют собой постоянные величины и поэтому связь между ними записывается через уравнение статики: m_y = Ф_f(0)* m_f (2).

Теперь перейдём к нахождению через f ⁰(t). Входное воздействие f ⁰(t) может быть заданно либо корреляционной функцией либо спектральной плотностью. f ⁰(t)® Rf ⁰(t), S_f⁰(w).

Эти характеристики могут быть получены в результате обработки экспериментально снятых кривых f(t).

Выходная величина:. y⁰(t)® Ry ⁰(t), S_y⁰(w).

R_y(t) = M[y(t),y(t-t)]

Чтобы получить искомое выражение для искомой функции, выходные величины по искомой функции, входные воздействия – воспользуемся связью между входной и выходной величиной системы через её весовую функцию.

Введём в уравнение новую переменную t₂:

Отсюда корреляционная функция, как среднее значение этого выражения

Выражение (4) позволяет связать корреляционную функцию на выходе с корреляционной функцией входного воздействия через весовую функцию.

Каждая из записей – интеграл свёртки. Корреляционная функция выходного воздействия получается двухкратным взятием интеграла свёртки от корреляционной функции входного воздействия. Выражения (4) и (5) устанавливают связь между корреляционными функциями входного и выходного сигнала в интегральной форме. Эту связь можно выразить через передаточную функцию системы.

R_y(t) = Ф_f(S)*Ф_f(-S)*R_f(t) (6)

Выведем соотношение, позволяющее находить спектральную плотность на выходе по спектральной плотности входного сигнала. Функция спектральной плотности является изображением Фурье корреляционной функции.

Если в (7) подставить найденное значение для y(t), то получим:

S_y(w) = Ф_f(S)* Ф_f(-S)* S_f(w) = | Ф_f(S)|²* S_f(w) (8)

Квадратно-амплитудное: S_y(w) = А_з²(w)*S_f(w)

Таким образом спектральная плотность стационарного излучения процесса на выходе системы = спектральной плотности входного воздействия, умноженное на квадрат амплитуды частотной характеристики системы.

Спектральная плотность есть частная характеристика для средних значений квадратов амплитуд гармоник.

Пример: Ф(S) = k/(TS+1)

S_f(w) = S_f = Const = спектральная плотность, т.е. входной сигнал представляет собой белый шум, Используя (8) находи выражение для плотности на выходе системы:

В результате прохождения через инерционную систему бесконечный спектр входного воздействия ограничивается в соответствии с АХ системы.

Дата добавления: 2014-10-23