НИКОЛАЕВ, 2005. Разработано Ю.П. Кочановым

Разработано Ю.П. Кочановым

По выполнению расчетно-графической работы №1

Методические указания

Имени адмирала С.О.Макарова

Образования и науки Украины

М и н и с т е р с т в о

НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КОРАБЛЕСТРОЕНИЯ

Кафедра СМК

по дисциплине «Математические модели и численные методы СМК»

«Расчет прямоугольной пластины при плоском напряженном состоянии»

1. С о д е р ж а н и е з а д а н и я. Для прямоугольной свободной подвешенной на кромках и (рис.1) изотропной пластины, нагруженной по верхней кромке нормальными усилиями Р(х), определить:

- перемещения v и нормальные напряжения σ _х и σ _у в сечении ;

- перемещения u и касательные напряжения τ _ху в сечении .

Вычислить указанные величины в пяти равноотстоящих точках по высоте поперечных сечений и построить эпюры. Сравнить полученные результаты с результатами расчета пластины по технической теории изгиба балок и сделать выводы.

Исходные данные:

t - толщина пластины;

a, b - размеры пластины (см. рис. 1);

Е - модуль Юнга,

μ = 0,3 - коэффициент Пуассона;

γ = b/a = 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6.

Погонная интенсивность нормальных усилий:

1) р(х)= 4 р₀ ξ(1-ξ); ξ = х/a;

2) р(х)= р ₀ sin ²πξ;

3) р(х)= 16 р ₀ξ²(1-ξ)²;

4) р(х)= р ₀.

Рис 1. Величины Е, b, t, р ₀ считать заданными.

2. Указания по выполнению. На основании общего решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной пластины [1,2], полученного методом разделения переменных выражения для компонентов напряженного состояния принять в виде:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

где ; ; ; ; (6)

(7)

- функции А.С. Калманка, подробные таблицы которых приведены в учебнике [2] и сокращенные в П.1.

Рекомендуется следующий порядок выполнения задания.

1. Записывается принятая форма решения (1-5), тождественно удовлетворяющая условиям жесткого подвеса на кромках пластины и ;

2. Выписываются граничные условия на кромках пластины и;

3. Решение (1-5) подчиняется граничным условиям на кромках и; в результате получается система уравнений для определения коэффициентов рядов (= 1, 2, 3, 4);

4. Из системы п.3 определяются коэффициенты и подставляются в формулы (1-5);

5. По формулам (1-5) вычисляются компоненты напряженно-деформированного состояния в соответствии с заданием в сечении и . Вычисления на ЭВМ выполнять при числе членов в рядах (1-5) = 1, 3, 5, 7 и оценить сходимость результатов. Вручную вычислить максимальные значения при = 1: , , , , .

6. Строятся эпюры напряжений , , и перемещений , в заданных сечениях;

7. Находятся перемещения и напряжения рассматриваемой балки-стенки по технической теории изгиба балок под действием поперечной нагрузки

, (8)

где , - коэффициенты Фурье внешней нагрузки , представленной в виде ряда по синусам кратных дуг (см. ниже).

Решение по технической теории выполняется с учетом и без учета деформации сдвига. Сравниваются величины напряжений и перемещений, полученные на базе решений плоской задачи теории упругости (при =3) и технической теории изгиба балок. Устанавливается погрешность технической теории изгиба балок с учетом и без учета деформации сдвига.

3. Справочные данные. Таблицы для функций А.С. Калманка приведены в учебнике [2] и приложении 1*. Расчет свободно опертой балки при действии на нее нагрузки (2) может быть выполнен с помощью таблиц изгиба балок [3], [4] или формул приложения 2.

Разложение внешней нагрузки в ряд Фурье по синусам имеет вид:

(9)

где

. (10)

Для заданных четырех вариантов внешней нагрузки коэффициенты Фурье (10) равны (при п =1, 3, 5…):

(11)

Коэффициенты при =2, 4, 6…равны нулю в силу симметрии заданных нагрузок относительно сечения .

Приложение 1.

Таблицы функций А.С. Калманка при =1, =1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6.

Таблица 1.

Значения функции

η γ		0,25	0,5	0,75	1,0
	0,0000	0,1488	0,3428	0,6234	1,0000
1/2	0,0000	0,2330	0,4747	0,7308	1,0000
1/3	0,0000	0,2457	0,4937	0,7462	1,0000
1/4	0,0000	0,2485	0,4978	0,7484	1,0000
1/5	0,0000	0,2494	0,4991	0,7493	1,0000
1/6	0,0000	0,2497	0,4995	0,7497	1,0000

Таблица 2.

Значения функции

η γ		0,25	0,5	0,75	1,0
	0,1798	0,2087	0,2947	0,4238	0,5136
1/2	0,5894	0,6010	0,6325	0,6716	0,6935
1/3	0,9370	0,9416	0,9536	0,9681	0,9759
1/4	1,2649	1,2671	1,2727	1,2793	1,2828
1/5	1,5871	1,5882	1,5913	1,5948	1,5967
1/6	1,9072	1,9079	1,9097	1,9118	1,9129

Таблица 3.

Значения функции

η γ		0,25	0,5	0,75	1,0
	0,0000	0,0736	0,1435	0,1708	0,0000
1/2	0,0000	0,0579	0,0972	0,0920	0,0000
1/3	0,0000	0,0338	0,0552	0,0500	0,0000
1/4	0,0000	0,0210	0,0340	0,0304	0,0000
1/5	0,0000	0,0141	0,0228	0,0202	0,0000
1/6	0,0000	0,0101	0,0162	0,0143	0,0000

Таблица 4.

Значения функции

η γ		0,25	0,5	0,75	1,0
	0,0932	0,0940	0,0774	-0,0371	-0,4901
1/2	0,1548	0,1326	0,0569	-0,1010	-0,3969
1/3	0,1366	0,1136	0,0410	-0,0921	-0,3050
1/4	0,1138	0,0936	0,0316	-0,0774	-0,2420
1/5	0,0956	0,0784	0,0256	-0,0653	-0,1990
1/6	0,0819	0,0669	0,0215	-0,0561	-0,1684

Таблица 5.

Значения функции

η γ		0,25	0,5	0,75	1,0
	0,0000	-0,0017	-0,0557	-0,2819	-1,0000
1/2	0,0000	-0,1171	-0,2803	-0,5469	-1,0000
1/3	0,0000	-0,1782	-0,3833	-0,6453	-1,0000
1/4	0,0000	-0,2065	-0,4297	-0,6876	-1,0000
1/5	0,0000	-0,2211	-0,4535	-0,7090	-1,0000
1/6	0,0000	-0,2295	-0,4671	-0,7211	-1,000

Приложение 2.

Расчет пластины по технической теории изгиба балок.

При рассмотрении заданной пластины как балки необходимо принять (см. рис. 2):

- материал балки, такой же как у пластины;

- пролет балки равен ;

- поперечное сечение - прямоугольник высотой и шириной ;

- интенсивность поперечной нагрузки, определяется формулой (8);

- условия свободного подвеса пластины на кромках а соответствуют шарнирному опиранию балки на жесткие опоры.

Рис. 2

Геометрические характеристики поперечного сечения будут:

, (П.1)

где

- площадь поперечного сечения;

- центральный момент отсеченной площади;

- статический момент отсеченной площади относительно нейтральной оси.

Определение прогиба балки сводится к решению краевой задачи:

; (П.2)

; (П.3)

Решение краевой задачи (П.2), (П.3) имеет вид:

, (П.4)

где

(П.5)

Прогиб от деформации сдвига будет:

. (П.6)

Изгибающий момент и перерезывающая сила определяются по формулам:

. (П.7)

Прогиб в сечении равен:

- от изгиба

; (П.8)

- от сдвига

; (П.9)

- суммарный прогиб

. (П.10)

Нормальные напряжения в сечении равны

. (П.11)

В сечении имеем:

- перемещение точек вдоль оси :

. (П.12)

- касательные напряжения:

. (П.13)

Формулы (П.8-П.13) получены на основании зависимостей (П.1), (П.4-П.7). Рекомендуется самостоятельно проверить указанные формулы.

Список литературы

1. Суслов В.П., Кочанов Ю.П. Задачник по строительной механике корабля и основам теории упругости. - Л.: Судостроение, 1977, с.216.

2. Суслов В.П., Кочанов Ю.П., Спихтаренко В.Н. Строительная механика корабля и основы теории упругости. - Л.: Судостроение, 1972, с.720.

3. Справочник по строительной механика корабля.Т.1.под ред. Ю.А.Шиманского. -Л.: Судпромгиз,1958, с.628.

4. Справочник по строительной механике корабля./Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский В.С. -Т.1. -Л.: Судостроение, 1982, с.376.

* Таблицы составлены на ПЭВМ П.В. Торондушем

Дата добавления: 2014-10-23