Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уравнения 2-й степени на плоскости




Определение. Уравнение 2-го порядка на плоскости называют уравнение вида

a11x2+2a12xy+a22y2+a13x+a23y+a33=0 (6.2)

Первые три слагаемые образуют квадратичную форму и определяют тип кривой 2-го порядка. Начнем изучение этого уравнения в его каноническом виде.

Определение. Множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют эллипсом.

Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F1 (0;-с) и F2(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое уравнение эллипса .

В этом уравнении параметры эллипса а, в, с связаны соотношением а2-b2=c2. Можно рассмотреть геометрический способ построения эллипса – в лист бумаги вколоть две шпильки, связать свободным кольцом нить, одеть кольцо на шпильки, оттянуть карандашом нить и в таком состоянии двигать карандаш вокруг шпилек – он опишет эллипс.

Точки пересечения эллипса с осями координат называют вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин называют полуосями эллипса. Полуось, на которой расположены фокусы – а – называется большой полуосью, b – малой.

Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет эллипса. Эксцентриситет (бывший центр) характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой полуоси и может принимать значения от 0 до 1. В первом случае эллипс превращается в окружность (a=b), а во втором – эллипс вырождается в отрезок F1F2. Эллипс – одна из классических кривых 2-го порядка.

Определение. Множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, равна постоянной 2а, называют гиперболой.

Если расположить указанные точки симметрично началу координат и на оси Ох F1 (0;-с) и F2(0;с), то после решения задачи типа 2 получим каноническое уравнение эллипса .

В этом уравнении параметры гиперболы а, в, с связаны соотношением а2+b2=c2.

Точки пересечения гиперболы с осями координат называют вершинами гиперболы. Обнаруживается, что гипербола пересекает только ось Ох. Но в аналитической геометрии этот факт истолковывают так: гипербола пересекает ось Ох в действительных вершинах A1(-a;0) и A2(-a;0), а ось Оу в мнимых вершинах В1(0;-b) и B2(0;b). Соответственно, расстояния от начала координат до действительных вершин называют действительными полуосями гиперболы, а расстояния от начала координат до мнимых вершин называют мнимыми полуосями гиперболы. Фокусы расположены на действительной полуоси. Отношение 2c/2a=c/a называют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет может принимать значения от 1 до бесконечности. Гипербола – одна из классических кривых 2-го порядка.

Отметим некоторые особенности построения гиперболы. Из канонического уравнения гиперболы видно, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Построим ее только в первой четвертью Для этого вычислим у из канонического уравнения y=. Если теперь увеличивать х неограниченно, то второй сомножитель со временем превратится в 1 и изменение у будет полностью связано первым множителем. Иначе говоря, с увеличением х гипербола приближается, не пересекая, к прямой у=bx/a. Такую прямую в аналитической геометрии называют асимптотой.

Теперь можно приниматься за построение кривой в таком порядке:

1-й шаг – на плоскости с введенной декартовой системой координат изображаем фокусы и действительные вершины гиперболы (точки пересечения с действительной остью);

2-й шаг – строят “опорный прямоугольник” со сторонами x=, y=;

3-й шаг – проводят диагонали прямоугольника – асимптоты кривой;

4-й шаг – в первой четверти координатной плоскости, начиная от вершины проводят плавную кривую вне прямоугольника, которая приближается к асимптоте – диагонали и не пересекает ее;

5-й шаг – отражают полученную кривую в координатных осях и получают всю гиперболу.

Определение. Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы), называется параболой.

Если расположить фокус на оси Ох в точке F(p/2;0), а директрису взять в виде х=p/2 и решить задачу типа 2, то получим каноническое уравнение параболы y2=2px.

Отличие такого уравнения параболы от графика квадратного трехчлена чисто символическое – поменялись оси симметрии.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 511; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.