Рациональные тригонометрические функции

Рациональным тригонометрическим выражением называют выражение типа R(Sinx, Cosx). Рассмотрим простейшие приемы интегрирования таких выражений.

Наиболее распространена универсальная тригонометрическая подстановка =t. Поэтому Sinx==; Cosx==. После этого R(Sinx, Cosx)= R(,) =. Т.к. из подстановки следует, что и dx=, то мы привели интеграл от тригонометрического выражения к интегралу от рац. дроби. Дальнейшие действия см.выше.

Если под интегралом записаны произведения вида SinaxCosbx; SinaxSinbx; CosaxCosbx, тогда произведение разворачиваем в сумму и получаем табличные интегралы.

Если под интегралом записаны выражения вида Sin^kxCos^lx, то поступают так:

если k и l четные числа, то используют формулы понижения степени Sin²x=0,5(1+Cos2x); Cos²x=0,5(1-Cos2x). Затем обрабатывают полученное;

если k четное, а l нечетное (или наоборот), то “отсчепляют” от нечетной степени основание и подводят его под знак дифференциала, а все четные степени выражают через функцию, записанную под знаком дифференциала;

если k+l – четное отрицательное целое, то применяют подстановку tgx=t и получают табличные интегралы.

Пример 7.6. Найдите интеграл dx. Здесь -=-4 и потому tgx=t. получаем dx=dx=dx===

=dt+dt=+2+C==+2+C.

Дата добавления: 2014-10-23