Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Производная по направлению и градиент




Уже известно, что частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующей координатной оси. Попытаемся вычислить скорость изменения функции в произвольном направлении.

Определение. Производной по направлению вектора =от функции f(x;y) называют . Обозначают производную по направлению . Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Пусть . Тогда х=Cos и у=Sin. Имеем с точностью до бесконечно малых порядка малости более высокого, чем х, равенство z = = f’x(х;y)х+ f’у(х;y)у= f’x(х;y)Cos + f’у(х;y) Sin. Разделим последнее равенство на и вычислим указанный в определении предел. Получим окончательно = f’x(х;y)Cos + f’у(х;y)Sin производную по направлению. Т.к. =90о -, то можно использовать направляющие косинусы вектора = и выражение для производной по направлению примет вид

= f’x(х;y)Cos + f’у(х;y)Сos

Если же требуется вычислить производную по направлению для функции трех переменных, то получим формулу

= f’x(х;y;z)Cos + f’у(х;y;z)Сos+ f’z(х;y;z)Сos.

Мы видим, что записанное справа выражение похоже на скалярное произведение двух векторов, один из которых единичный направления =. Для второго вектора введем обозначение

grad f(x;y;z)= f’x(х;y;z) + f’у(х;y;z) + f’z(х;y;z)

Т.о. = grad f(x;y;z) = grad f(x;y;z)Cosф=grad f(x;y;z)Cosф откуда следует, что grad f указывает направление наибыстрейшего изменения поля. Это весьма важная физическая характеристика поля. Позже получим некоторые характеристики самого градиента.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 303; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.