КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Локальный экстремум
Экстремумы функций нескольких переменных Определение экстремума перенесем из функций одного переменного. Теорема. Если z=f(x;y) непрерывна в окрестности точки Мо. Дифференцируема там и имеет в точке Мо экстремум, то имеют место равенства . Доказательство. Пусть для определенности Мо – точка максимума. Тогда в любой окрестности этой точки справедливо f(x;y)< f(хо;уо). Это значит. Что дифференцируемая по х функция f(х;уо) удовлетворяет необходимым условиям существования экстремума, т.е. f’x(хо;уо)=0. Аналогичные рассуждения приведут ко второму равенству. Комментарий. Следует помнить, что условия теоремы не являются достаточными. Так функция z=x2-y2 удовлетворяет необходимым условиям наличия экстремума в точке (0;0), но там экстремума нет, а есть минимакс. Теорема (достаточные условия существования экстремума). Пусть в -окрестности точки Мо функция z=f(x;y) имеет непрерывные до второго порядка включительно частные производные и выполняются необходимые условия наличия экстремума. Тогда при =(f’’xу)2- f’’xx f’’уу)<0 в точке Мо имеется экстремум; если >0, то экстремума нет; если =0, то требуются дополнительные исследования. Док. Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности Мо с точностью до R2. f(M)=f(хо;уо)+ f’x(хо;уо)(х- хо)+f’у(хо;уо)(у- уо)+0,5(f’’xx(хо;уо)(х- хо)2+2 f’’xy(хо;уо)(х- хо)(x- yо)+ f’’yy(хо;уо)(y-yо)2)+ R2. первые два слагаемые выпадают по необходимому условию. И тогда знак разности f(M)-f(хо;уо) определяется знаком трехчлена f’’xx(хо;уо)(х-хо)2+2f’’xy(хо;уо)(х-хо)(x-yо)+ f’’yy(хо;уо)(y-yо)2 Т.е. знаком величины (х-хо)2 (f’’xx(хо;уо)+2 f’’xy(хо;уо)t+ f’’yy(хо;уо)t2). Т.к. нам требуется гарантировать постоянство знака у разности f(M)-f(хо;уо), то это будет, если дискриминант трехчлена меньше нуля. Получаем требование для наличия экстремума
=(f’’xу)2- f’’xx f’’уу)<0, что и требовалось. Если же знак положителен, то невозможно гарантировать постоянство знака разности f(M)-f(хо;уо), а это говорит об отсутствии экстремума. Если же =0. То исследование следует продолжить, т.к. все опирается теперь на слагаемые более высокого порядка в формуле Тейлора. Следствие. Если наличие экстремума обеспечено, то условие f’’уу<0 (или эквивалентное ему f’’xx<0) указывает тип экстремума – максимум. Если же f’’уу>0 (или эквивалентное ему f’’xx>0), то тип экстремума – минимум. Как видим поиск локального экстремума весьма трудоемкая работа. Самое трудное – решение системы необходимых условий. Поэтому для поиска экстремумов используют приближенные численные методы (покоординатный, градиентный, случайный и др. методы спуска).
Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 368; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |