Теорема сложения

Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.

Рассматривается теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Полная группа событий. Теорема умножения вероятностей. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Теорема Лапласа.

Непосредственное определение вероятности весьма ограничено, т.к. на практике приходится иметь дело не с простыми, а с весьма сложными событиями.

Поэтому основное содержание теории вероятностей сводится к разработке методов и приемов расчета вероятностей сложных событий на основе известных (элементарных) вероятностей.

Для этого и предназначены основные теоремы теории вероятностей.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) (1)

Доказательство.

Найдем вероятность суммы событий, используя классическое определение вероятности. Пусть в результате некоторого эксперимента, состоящего из п исходов, событию А благоприятствуют исходов, а событию В - исходов. Если при этом одновременному появлению событий А и В благоприятствуют исходов, то, очевидно, событию А+В будут благоприятствовать исходов. Тогда

Так как то Р(А+В) = Р(А)+Р(В)- Р(АВ).

Если события А и В несовместны, то из (1) получим теорему сложения для несовместных событий:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) (2)

Теорема распространяется на случай любого конечного числа событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Р(А)+Р(В)+…+Р(К)=1. (3)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

(4)

Утверждение (4) следует из того, что противоположные события образуют полную группу. Из формулы (4) следует, что

(5)

Пример. Вероятность того, что приобретенный товар произведен в Италии,

Р_и = 0,4, а того, что он произведен в Турции – Р_т= 0,3. Какова вероятность того, что товар произведен в одной из этих стран?

Р = Р_и +Р_т = 0,4 +0,3 = 0,7

Пример. Из группы студентов знают английский язык, 5% - французский

и 1% - оба языка. Какова вероятность того, что наугад выбранный студент знает хотя бы один иностранный язык?

Р = 0,1 + 0,05 – 0, 01 = 0, 14.

Пример. В денежно-вещевой лотерее на серию в 10000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятности:

получить денежный выигрыш;

получить вещевой выигрыш;

получить выигрыш вообще;

ничего не выиграть.

Р е ш е н и е.

Р_ден = 120 / 10 000 = 0, 012

Р_вещ = 80 / 10 000 = 0,008

Р_вообще = 0, 012 + 0, 008 = 0, 02

Р_ничего = 1 – 0, 02 = 0,08.

Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность того, что, взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Р = 1- (0,85 + 0,1) = 0,05.

Пример. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Решение. Событие А – среди взятых учебников есть хотя бы один в переплете. среди взятых учебников нет ни одного в переплете. Очевидно, что Найдем Общее число способов, которыми можно взять 3 учебника из 15 учебников, равно . Число учебников без переплета 15-5=10. Из этого числа учебников можно взять способами 3 учебника без переплета. Поэтому вероятность того, что среди взятых учебников нет ни одного в переплете, равна Искомая вероятность

Дата добавления: 2014-10-23