Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание противоположных событий.

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р. Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения 1 (в случае, если событие А произошло) с вероятностью р и 0 (если А не произошло) с вероятностью q = 1 – p. Затем разыграем эту случайную величину так, как было предложено в предыдущем пункте.

Пример. Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,3.

Решение. Для случайной величины Х с законом распределения Х 1 0

р 0,3 0,7

получим интервалы D₁ – (0; 0,3) и D₂ – (0,3; 1). Используем ту же выборку случайных чисел, что и в предыдущем примере, для которой в интервал D₁ попадают числа №№1,3 и 7, а остальные – в интервал D₂. Следовательно, можно считать, что событие А произошло в первом, третьем и седьмом испытаниях, а в остальных – не произошло.

Если события А ₁, А ₂, …, А_п, вероятности которых равны р ₁, р ₂,… р_п, образуют полную группу, то для из разыгрывания (то есть моделирования последовательности их появлений в серии испытаний) можно разыграть дискретную случайную величину Х с законом распределения Х 1 2 … п, сделав это так же, как в пункте 1. При этом считаем, что

р р ₁ р ₂ … р_п

если Х принимает значение х_i = i, то в данном испытании произошло событие А_i.

2. Разыгрывание непрерывной случайной величины.

а) Метод обратных функций.

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, то есть получить последовательность ее возможных значений x_i (i = 1, 2, …, n), зная функцию распределения F (x).

Теорема. Если r_i – случайное число, то возможное значение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (x), соответствующее r_i, является корнем уравнения

F (x_i) = r_i.

Доказательство.

Так как F (x) монотонно возрастает в интервале от 0 до 1, то найдется (причем единственное) значение аргумента x_i, при котором функция распределения примет значение r_i. Значит, уравнение F (x_i) = r_i. имеет единственное решение: х_i = F ^-1(r_i), где F ^-1- функция, обратная к F. Докажем, что корень уравнения F (x_i) = r_i. является возможным значением рассматриваемой случайной величины Х. Предположим вначале, что x_i – возможное значение некоторой случайной величины x, и докажем, что вероятность попадания x в интервал (с, d) равна F (d) – F (c). Действительно, в силу монотонности F (x) и того, что F (x_i) = r_i. Тогда

, следовательно, Значит, вероятность попадания x в интервал (c, d) равна приращению функции распределения F (x) на этом интервале, следовательно, x = Х.

Пример. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (5; 8).

Решение.

F (x) = , то есть требуется решить уравнение Выберем 3 случайных числа: 0,23; 0,09 и 0,56 и подставим их в это уравнение. Получим соответствующие возможные значения Х:

б) Метод суперпозиции.

Если функция распределения разыгрываемой случайной величины может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения:

,

то , так как при х ®¥ F (x) ® 1.

Введем вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z 1 2. Выберем 2 независимых случайных числа r ₁ и r ₂ и разыграем возможное

p C ₁ C ₂

значение Z по числу r ₁ (см. пункт 1). Если Z = 1, то ищем искомое возможное значение Х из уравнения , а если Z = 2, то решаем уравнение .

Можно доказать, что при этом функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распределения.

в) Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины.

Так как для R, равномерно распределенной в (0, 1), , то для суммы п независимых, равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных величин . Тогда в силу центральной предельной теоремы нормированная случайная величина при п ® ¥ будет иметь распределение, близкое к нормальному, с параметрами а = 0 и s =1. В частности, достаточно хорошее приближение получается при п = 12:

Итак, чтобы разыграть возможное значение нормированной нормальной случайной величины х, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из суммы вычесть 6.

Контрольные вопросы:

1. Задачи математической статистики

2. Выборки.

3. Способы отбора.

4. Статистическое распределение выборки.

5. Эмпирическая функция распределения.

6. Полигон и гистограмма.

7. Виды статистических оценок.

8. Эмпирические моменты.

9. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения.

10. Доверительный интервал.

11. Виды статистических гипотез.

12. Общая схема проверки статистических гипотез.

13. Типы статистических критериев проверки гипотез.

14. Предмет метода Монте – Карло.

15. Оценка погрешности методом Монте – Карло.

16. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ =1мм и математическим ожиданием a = 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.

a) 0,04; б) 0,96; в) 0,54.

Дата добавления: 2014-10-23