Тема: метод простої ітерації для систем лінійних рівнянь

Лабораторна робота 8.

(2г.)

Мета: Отримати відомості про метод простої ітерації для розв’язування

систем лінійних рівнянь та навчитися застосовувати їх до конкретних задач.

Теоретичні відомості.

Нехай задана система лінійних рівнянь (СЛР) Aх = b, для матриці системи A = (a _ij) якої ô a _iiô > . Поділимо кожне рівняння системи Aх = b на a _ii. Тоді для матриці А' отриманої еквівалентної системи А'х = b' діагональні елементи дорівнюють 1, для матриці С = Е – А' діагональні елементи дорівнюють нулю, а суми модулів недіагональних елементів < 1. Очевидно, СЛР А'х = b' еквівалентна рівності х = Ф(х) = Сх + b'.

Тоді ітераційний процес х_k = Ф(х_k-1), k = 1, 2, … буде збігатися до єдиного розв’язку рівняння х = Ф(х), тобто до розв’язку СЛР Aх = b при довільному початковому х₀. Такий ітераційний метод для розв’язування СЛР називають стаціонарним або методом простої ітерації.

Хід роботи.

Задача. Розв’язати CЛР методом простої ітерації.

Розв’язання. Оскільки 3,9 > 1,25 + 0,98, 3,45 > 0,74 + 0,84, 2,38 > 0,65 + 1,18, тобто виконана умова ô a _iiô > , то скористаємося викладеним вище алгоритмом. Запишемо розширену матрицю даної СЛР в електронну таблицю:

	A	B	C	D
	3,9	1,25	-0,98	4,905
	0,74	3,45	-0,84	6,031
	-0,65	1,18	2,38	10,134

Поділимо кожний рядок цієї матриці на a _ii:

	A	B	C	D
	=A1/$A$1	®	®	®
		=В2/$В$2	®	®
			=С3/$С$3	®

В результаті отримаємо розширену матрицю еквівалентної системи А'х = b':

	A	B	C	D
		0,320513	-0,25128	1,257692
	0,214493		-0,24348	1,748116
	-0,27311	0,495798		4,257983

Наступним кроком знайдемо матрицю С = Е – А'. Для цього помножимо А' на – 1

	A	B	C
	= – А5	®	®
	¯	®	®
	¯	®	®

отримавши

	A	B	C
	-1	-0,32051	0,251282
	-0,21449	-1	0,243478
	0,273109	-0,4958	-1

а потім додамо одиничну матрицю: фактично просто задамо 0 замість – 1 у її діагональних елементах:

	A	B	C
		-0,32051	0,251282
	-0,21449		0,243478
	0,273109	-0,4958

Тепер застосуємо ітераційний процес х_k = Ф(х_k-1), k = 1, 2, …, де Ф(х) = Сх + b'. За початкове наближення візьмемо b', яке знаходиться в діапазоні D5:D7: х₀ = b'. Cпочатку розташуємо вектор b' у горизонтальному діапазоні А16:С16, тобто транспонуємо його за допомогою відповідного вбудованого оператора Excel. Для цього виділимо цей діапазон і задамо там оператор ТРАНСП(D5:D7). У наступних рядках задамо формули ітераційного процесу х_k = Сх_k-1 + b':

А17 = $А$16 + СУММПРОИЗВ($А$12:$С$12;А16:С16);

В17 = $В$16 + СУММПРОИЗВ($А$13:$С$13;А16:С16);

С17 = $С$16 + СУММПРОИЗВ($А$14:$С$14;А16:С16).

У наступні рядки стовпців А, В, С ці формули треба копіювати (тобто протягувати). В результаті дістанемо:

	A	B	C
	1,257692	1,748116	4,257983
	1,767353	2,515076	3,734758
	1,390056	2,278364	3,493693
	1,40535	2,300597	3,508011
	1,401822	2,300803	3,501165
	1,400035	2,299893	3,500099
	1,400059	2,300017	3,500063
	1,40001	2,300003	3,500008
	1,400001	2,3	3,500002
	1,4	2,3	3,5
	1,4	2,3	3,5

Перевірка.

У правильності отриманого розв’язку переконаємось безпосередньо:

	D
	= СУММПРОИЗВ($А$26:$С$26;A1:C1)
	¯
	¯

звідки

	D
	Проверка
	4,905002
	6,031
	10,134

Дата добавления: 2014-10-31