Нахождение длины дуги кривой, если линия задана параметрически

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

Пример 4. Вычислить длину дуги кривой

Решение. Аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды.

Используем формулу .

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Тогда:

Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция на промежутке ,
или , если на данном промежутке.

Ответ:

Пример 5. Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Решение: используем формулу .
Найдём производные:

Таким образом:

Примечание: при любом значении .
Ответ:

Дата добавления: 2014-10-31