Предел функции в точке. Ограниченность функции

Ограниченность функции.

Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы. Примеры.

Бесконечно большие велечины,теорема о связи с бесконечно малыми.

Ответ Бесконечно большая[править | править вики-текст]

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при x→+∞.

Последовательность an называется бесконечно большой, если limn→∞an=∞.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если limx→x0f(x)=∞.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если limx→+∞f(x)=∞ либо limx→−∞f(x)=∞.

1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.

Доказательство.

Пусть xn→a, yn→b, xn= a+ αn, αn - бесконечно малая последовательность, yn= b+βn, βn - бесконечно малая последовательность.

xn+yn= (a+b) + (αn+βn)

xn+yn→a+b

2. Если xn→a, yn→b, то xn−yn→a−b

3. Если xn→a, yn→b, то xn∗yn→a∗b

Доказательство.

xn= a+ αn, αn - бесконечно малая последовательность, yn= b+βn, βn - бесконечно малая последовательность.

xn∗yn = (a+αn) ∗ (b+βn) = a∗b + a∗βn + b∗αn + αn∗βn = a∗b + γn, где γn = a∗βn+b∗αn+αn∗βn

xn∗yn→a∗b

Лемма. Если yn→b ≠ 0, то начиная с некоторого номера определена последовательность 1/(yn) которая является ограниченной.

Доказательство.

Положим ε = ∣b∣/2

При n>N(ε) ∣yn−b∣ < ε= ∣b∣/2

∣b∣=∣(b−yn)+yn∣≤∣b−yn∣+∣yn∣<∣b∣/2+∣yn∣ при n>N(ε)

∣yn∣>∣b∣/2 при n>N(ε)

1/∣yn∣<2/∣b∣

4. Если xn→a, yn→b ≠ 0, то xn/yn = a/b

Доказательство.

В силу леммы начиная с некоторого номера N элементы последовательности {1/yn} ограничена. Сэтого номера будем рассматривать последовательность {xnyn}

{xnyn}−a/b= xn∗b−a∗ynyn∗b = 1yn ∗(xn−yn∗ab)

xn=a+αn, αn - бесконечно малая последовательность.

yn=b+βn, βn - бесконечно малая последовательность.

xn−ab∗yn=a+αn−ab∗(b+βn)=a+αn−a−ab∗βn - бесконечно малая последовательность.

xnyn=ab

Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M

при хє(a,b).

Число m_o= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции,

а число M_o= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).

Разность M_o- m_o называется колебанием функции на промежутке (a,b).

Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись

обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство:

|f(x)- A |< ε.

Имеют место два замечательных предела:

1)

2)

Критерий Коши:

Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что

|f(x') - f(x")| < ε,

как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).

Дата добавления: 2014-10-31